Récurrence

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tetilyeki
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récurrence

par tetilyeki » 26 Sep 2021, 12:21

Bonjour,
J'aurais besoin de votre aide pour un DM.

La suite(un) définie par u0=1 et pour tout entier naturel n, un+1 = 2un −n +1.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un >= n.



catamat
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Re: récurrence

par catamat » 26 Sep 2021, 15:03

Bonjour

Pour l'hérédité, on suppose que ,pour une valeur de n, on a

Il faut démontrer que

Pour commencer que peut-on dire de ?
je te laisse continuer...

tetilyeki
Messages: 3
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Re: récurrence

par tetilyeki » 26 Sep 2021, 15:36

Bonjour,
Comme cela ?

• Initialisation n=0 :
D’une part :
U0=1
D’autre part :
U1 = 2U0 – 0 + 1
U1 = 2 * 1 – 0 + 1
U1 = 2 + 1
U1 = 3
Donc U1>=0 et la proposition est vraie au rang initial.

• Hérédité :
On suppose que la proposition est vraie pour un entier naturel n quelconque fixé, c’est-à-dire Un>=n.

On cherche à montrer qu’alors elle est aussi vraie au rang n+1, c’est-à-dire Un+1>=n+1.

| énoncé :
| Un+1 = 2Un − n +1
| Un+2 = 2(Un+1) − n +2

D’après l’hypothèse de récurrence, Un>=n
<=>2Un >= 2n
<=>2Un – n+1 >= 2n – n+1
<=>Un+1 >= n+1
La proposition est donc aussi vraie au rang n+1.

• Conclusion :
On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n quelconque : Un >= n c’est-à-dire que la suite (Un) est croissante ou nul.

catamat
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Re: récurrence

par catamat » 26 Sep 2021, 16:03

Oui c'est bien pour l'hérédité mais pour l'initialisation il suffit d'écrire que U0 >=0 puisque U0=1
U1 n'a pas à être calculé, la plus petite valeur de n étant 0.

catamat
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Re: récurrence

par catamat » 26 Sep 2021, 16:05

Euh je n'avais pas lu la conclusion...
Ce que l'on a démontré n'a pas de rapport avec le sens de variation de Un.

Cela va sans doute servir pour la limite de Un.

tetilyeki
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Re: récurrence

par tetilyeki » 26 Sep 2021, 16:10

catamat a écrit:Euh je n'avais pas lu la conclusion...
Ce que l'on a démontré n'a pas de rapport avec le sens de variation de Un.

Cela va sans doute servir pour la limite de Un.

Très bien merci beaucoup de votre aide !

 

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