Récurrence

[mygaloup]

Bonjour
Voilà j'ai un exercice à faire sur de la récurrence, j'ai réussi à faire l'initialisation avec U0. Mais après pour faire l'hérédité, en utilisant la clé, je ne comprend pas comment on fait pour passez de Un à Un+1.

Sujet :
Soit la fonction f définie sur l'intervalle {0;4}par
f(x)=(2+3x)÷(4+x)
On considère la suite Vn définie par V0=0,1 et pour tout entier naturel n, Vn+1=f(Vn)

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0<=1-Vn<=(1÷2)^n.


Donc perso j'ai trouver pour V0, sa marche
0<=0,9<=1

Mais la suite, la clé que j'ai trouver c'est. Vn+1=(2+3Vn)÷(4+Vn)
Et c'est là que j'ai du mal, je ne comprend pas comment utiliser cette clé, étant donner que Vn et utilise 2fois.

[LB2]

Essaye de calculer 1-V(n+1) en fonction de 1-V(n).

Si l'exercice est bien fait, tu devrais trouver une relation simple ...

[mygaloup]

Ok super, l'exercice précédent c'était
Montrer que pour tout entier naturel n,
1-Vn+1 = ((2)÷(4+Vn)×(1-Vn)

Mais du coup je vois pas en quoi sa m'arrange ?

[LB2]

Tu y es presque : remarque V(n) >= 0, et déduis en la majoration : 1-V(n+1) <= 1/2 * (1-V(n) )

L'idée est de majorer la suite 1-V(n) par une suite géométrique de raison 1/2

[mygaloup]

Dans l'ordre des idée :
Là suite Vn est croissante et son premier terme est 0,1. Donc la suite Vn >0.
Si 1-Vn+1=(2/(4+Vn))×(1-Vn)

Et (2/(4+Vn))×(1-Vn)<= (1/2)×(1-Vn) avec Vn>0

Donc 1-Vn+1<= (1/2)×(1-Vn)

Ok normalement j'ai compris à par si j'ai mal compris le terme majorer/majoration

Mais, ce qui m'embête c'est que le résultat qu'on trouve c'est pas : Vn+1=(Ou autre signe)....
Là c'est 1-Vn+1=(Ou autre signe)....

Pour faire la récurrence, sa veut dire que qu'il faut passer ce 1 de l'autre côté (Du côté Vn) ?

[LB2]

Par hypothèse de récurrence, 1-V(n) <= 1/(2^n)
Or, 1-V(n+1) <= 1/2 * (1-V(n) )

Donc ?

Si tu préfères, on pourrait poser une suite auxiliaire, d(n) = 1-V(n) par exemple.

As tu bien compris les étapes de majoration :
4+V(n) >= 4 car V(n)>= 0
donc 2/(4+V(n)) <= 2/4 = 1/2

[mygaloup]

Désolé, j'ai pas compris comment on obtenien : 1-Vn <= 1/(2^n)

1-Vn<= 1/(2^n)
1-Vn+1<=(1/2)(1-Vn)

Donc Vn+1 <= -1/2 +1/2Vn +1
Vn+1<= 1/2+ 1/2Vn
Désolée je crois que je suis perdu.....

[LB2]

Il suffit de majorer 1-V(n+1) par 1/2 * (1/2^n)

on a utilisé le résultat élémentaire suivant sur les inégalités :
Si a,b,c,d sont des réels positifs
a<b
c < d
alors ac < bd

[mygaloup]

Donc il faut faire la récurrence de :
1-Vn+1<=1/2 * (1/2^n)
Donc Vn+1<= (1/2 * (1/2^n))-1 ?

[LB2]

Non.

Pourquoi veux tu majorer à tout prix V(n+1) ? Ce n'est pas ce qui est demandé. Nous on veut majorer 1-V(n+1).

[mygaloup]

Ah, d'accord j'ai repris l'exercice depuis le début donc
0<=1-Vn+1<=1/2*(1/2^n)<=(1/2)^n+1
Donc 0<=1-Vn+1<=(1/2)^n+1

Merci