Récurrence

[elena22]

Bonjour, on aborde une nouvelle notion en maths que je comprends pas très bien, pourriez vous m'aider sur cet exercice ?

La fonction f est définie sur [0.2] par: f(x)= (2x+1)/(x+1)
u est la suite definie par U0=1 et pour tout n element naturel, Un+1=f(Un)
démontrer que la suite u est croissante

on nous a demandé de le faire par récurrence
merci de votre aide

[ampholyte]

Bonjour,

Pour faire une récurrence il y a plusieurs étapes :

1) Hypothèse de récurrence :
Montrons que pour tout n la suite un est croissante.

2) On vérifie que c'est vrai pour le rang 1
Vérifions que u1 > u0


3) Supposons que un+1 > un montrons que un+2 > un + 1
Tu pars de l'inégalité un+1 > un et tu fais les diverses opérations pour montrer que un+2 > un + 1

4) Tu conclus

[Titahn]

Bonjour, on aborde une nouvelle notion en maths que je comprends pas très bien, pourriez vous m'aider sur cet exercice ?

La fonction f est définie sur [0.2] par: f(x)= (2x+1)/(x+1)
u est la suite definie par U0=1 et pour tout n element naturel, Un+1=f(Un)
démontrer que la suite u est croissante

on nous a demandé de le faire par récurrence
merci de votre aide

Salut,

Le principe de la récurrence est que tu supposes qu'une propriété est vraie. Tu vérifies qu'elle est vraie dans les premiers cas. Ensuite tu supposes qu'elle est vraie dans le cas n, et tu vas prouver qu'alors n+1 vérifie aussi la propriété.

Autrement dit, comme tu sais que ta propriété marche pour les premiers cas que tu peux facilement vérifier, et comme tu sais que si elle marche dans un cas, elle marchera pour le cas suivant, le fait qu'elle marche pour 1, ça prouve qu'elle marche pour 2, donc pour 3, pour 4, bref, pour tout !

Ici concrètement, tu vas devoir calculer U0 (qu'on te donne), U1 et vérifier que U1 est bien supérieur à U0. Facile.

Ensuite tu supposes ta propriété vraie : Un est croissante
Et tu veux montrer que Un+1 est aussi croissante, autrement dit que Un+1 est plus grand que Un.

Tu as donc juste (c'est la partie la plus dure cela dit ^^) à montrer que est plus grand que Un.

J'espère que c'est un peu plus clair =)

[elena22]

Bonjour,

Pour faire une récurrence il y a plusieurs étapes :

1) Hypothèse de récurrence :
Montrons que pour tout n la suite un est croissante.

2) On vérifie que c'est vrai pour le rang 1
Vérifions que u1 > u0


3) Supposons que un+1 > un montrons que un+2 > un + 1
Tu pars de l'inégalité un+1 > un et tu fais les diverses opérations pour montrer que un+2 > un + 1

4) Tu conclus

On veut que pour tout n élément naturel, Un+1>Un
1) U0=1 et U1=3/2 donc U1>U0 c'est donc vrai

2) démontrons que si Un+1>Un alors Un+2>Un+1
On a Un+1= 2Un+1/Un+1

mais comment peut on faire l'inégalité sans connaître Un ?

[ampholyte]

Salut,

Ensuite tu supposes ta propriété vraie : Un est croissante
Et tu veux montrer que Un+1 est aussi croissante, autrement dit que Un+1 est plus grand que Un.

Tu as donc juste (c'est la partie la plus dure cela dit ^^) à montrer que

Très juste et beaucoup plus rapide que ce que j'ai proposé plus haut.

[Titahn]

On veut que pour tout n élément naturel, Un+1>Un
1) U0=1 et U1=3/2 donc U1>U0 c'est donc vrai

2) démontrons que si Un+1>Un alors Un+2>Un+1
On a Un+1= 2Un+1/Un+1

mais comment peut on faire l'inégalité sans connaître Un ?

Si tu prends un exemple de récurrence ridiculement simple, pour que tu visualises mieux : Tu veux prouver que Un+1=(Un)+1 est toujours positif. Avec U0=1

U0=1>0 donc U1=2>0, première condition validée.

Maintenant tu supposes que Un est positif, et tu veux montrer que Un+1 est positif.
Tu sais que Un+1=(Un)+1. Or tu ne sais pas combien vaut Un... Mais tu sais que Un est positif. Donc si tu rajoutes 1, (Un)+1 est aussi positif. Il faudra donc toujours utiliser la propriété de Un pour en déduire celle de Un+1.

Du coup tu viens de démontrer que quel que soit n, Un est positif.

Ici c'est la même chose, tu ne connais pas Un, mais tu sais que Un est croissante, et c'est ça la propriété qu'il faut utiliser =).

[chan79]

salut
si tu sais montrer que f est croissante,

si





ou alors tu exprimes en fonction de

[elena22]

Si tu prends un exemple de récurrence ridiculement simple, pour que tu visualises mieux : Tu veux prouver que Un+1=(Un)+1 est toujours positif. Avec U0=1

U0=1>0 donc U1=2>0, première condition validée.

Maintenant tu supposes que Un est positif, et tu veux montrer que Un+1 est positif.
Tu sais que Un+1=(Un)+1. Or tu ne sais pas combien vaut Un... Mais tu sais que Un est positif. Donc si tu rajoutes 1, (Un)+1 est aussi positif. Il faudra donc toujours utiliser la propriété de Un pour en déduire celle de Un+1.

Du coup tu viens de démontrer que quel que soit n, Un est positif.

Ici c'est la même chose, tu ne connais pas Un, mais tu sais que Un est croissante, et c'est ça la propriété qu'il faut utiliser =).

alors si j'ai compris (2Un +1)/(Un +1) est positif donc (2Un +1)/(Un +1)+1 >0
on a (Un+1)= (2Un +1)/(Un +1)+1
Un+1 = (2Un +1+Un+1)/(Un+1)
= (3Un +2)/(Un+1)

[ampholyte]

Tu n'as pas bien compris. Titahn t'a montré le fonctionnement sur un exemple. Ce n'est absolument pas ce que tu dois faire ici =).

Essaye de faire comme je t'ai expliqué plus haut ou comme Chan79 le dit.

[elena22]

Tu n'as pas bien compris. Titahn t'a montré le fonctionnement sur un exemple. Ce n'est absolument pas ce que tu dois faire ici =).

Essaye de faire comme je t'ai expliqué plus haut ou comme Chan79 le dit.

Ohla je me mélange les pinceaux :/ je ne comprends plus la ...
je vais retourner sur ta méthode, c'est plus ce qu'on a vu en cours.
est-ce que je dois partir sur lr principe : Un +1>Un
(2Un +1)/(Un +1) > Un
(2Un +1)/(Un +1) - Un > 0
?