je bloque sur la première question d'un exercice (bac C 1973 Montpellier) :
On considère dans lensemble C des nombres complexes la suite de terme général zn, dé;)nie par son
premier terme z0 = 1, et la relation de récurrence
2*zn+1 = zn + i
1. Démontrer que pour tout entier naturel n, non nul, le module rn de zn est inférieur à 1
J'essaie de faire ça par récurrence, l'initialisation fonctionne, mais je n'arrive pas à prouver ma propriété au rang n+1.
J'ai :
|zn+1|= 1/2*|zn + i|
Mais je ne vois pas comment je peux me servir de mon hypothèse de récurrence ensuite. J'ai essayé avec la forme algébrique, mais ça ne m'a pas trop aidé non plus.
Par ailleurs, l'exercice continue ainsi :
2. On pose zn = xn + iyn (où xn et yn sont des nombres réels et un = zn
i.Trouver une relation entre un+1 et un.
En déduire que la suite de terme général xn est une suite géométrique qui converge vers 0 et que les
suites de termes généraux yn et rn convergent vers 1.
3. Calculer le plus petit entier n0 tel que, pour tout n supérieur où égal à n0, on ait |zn
i| < 10;)6J'ai bien réussi la deuxième question, je trouve que un est une suite géométrique de raison 1/2, que yn=1 et que xn=(1/2)^n, et que |zn|=Rac[1+(1/4)^n], mais je ne vois pas trop comment répondre à la question 3...
Merci pour votre aide !
