Récurrence sur Fibonacci

[Anonyme]

Les nombres de Fibonacci sont définis par : a0 = 1 , a1 = 1, et pour tout entier naturel n, =+

1) Démontrer que pour tout entier naturel n, on a an supérieur ou égal à 1
On pose : un = (an+1)/an

2) Démontrer que la suite u est telle que u0 = 1 et pour tout entier naturel n,= 1+ 1/

3) Démontrer que si la suite u converge, alors elle converge vers le nombre d'or phi

4)a) Démontrer que pour tout entier naturel n :
(un+1) - phi = (phi - un) / (phi * un)
En déduire que [(un+1) - phi] inférieur ou égal à (1/phi)*[un - phi]

b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n :
[un - phi]est inférieur ou égal à (1/phi)^n*[1 - phi].

( /!\ -> Par les crochets [] je veux dire valeur absolue)

c) En déduire que la suite u converge vers phi

[Manny06]

Les nombres de Fibonacci sont définis par : a0 = 1 , a1 = 1, et pour tout entier naturel n, =+

1) Démontrer que pour tout entier naturel n, on a an supérieur ou égal à 1
On pose : un = (an+1)/an

2) Démontrer que la suite u est telle que u0 = 1 et pour tout entier naturel n,= 1+ 1/

3) Démontrer que si la suite u converge, alors elle converge vers le nombre d'or phi

4)a) Démontrer que pour tout entier naturel n :
(un+1) - phi = (phi - un) / (phi * un)
En déduire que [(un+1) - phi] inférieur ou égal à (1/phi)*[un - phi]

b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n :
[un - phi]est inférieur ou égal à (1/phi)^n*[1 - phi].

( /!\ -> Par les crochets [] je veux dire valeur absolue)

c) En déduire que la suite u converge vers phi

donne tes premiers résultats

[Anonyme]

En fait, j'ai surtout besoin d'aide pour la question 4 !
Pour le a, je n'ai pas du tout réussi a commencer, car apparemment on ne me demande pas de récurrence.
Pour la b, j'ai commencé par faire -> l'initialisation :
[u0 - phi ] = [1 - phi ] et (1/phi)^0 * [1 - phi] = 1*[1 - phi]
donc [u0 - phi ] = (1/)0 * [1 - phi ] donc P(o) est vérifiée.

-> puis l'hérédité : On suppose que [un - phi ] est inférieur ou égal à (1/ phi)^n * [1 - phi] pour un certain entier n . On montre alors que [(un+1) - phi] est inférieur ou égal à (1/phi)^(n+1) * [1 - phi ]

Je n'arrive pas à continuer
Du coup, je ne peux pas non plus répondre à la question petit c.

[Manny06]

En fait, j'ai surtout besoin d'aide pour la question 4 !
Pour le a, je n'ai pas du tout réussi a commencer, car apparemment on ne me demande pas de récurrence.
Pour la b, j'ai commencé par faire -> l'initialisation :
[u0 - phi ] = [1 - phi ] et (1/phi)^0 * [1 - phi] = 1*[1 - phi]
donc [u0 - phi ] = (1/)0 * [1 - phi ] donc P(o) est vérifiée.

-> puis l'hérédité : On suppose que [un - phi ] est inférieur ou égal à (1/ phi)^n * [1 - phi] pour un certain entier n . On montre alors que [(un+1) - phi] est inférieur ou égal à (1/phi)^(n+1) * [1 - phi ]

Je n'arrive pas à continuer
Du coup, je ne peux pas non plus répondre à la question petit c.

ecris Un+1=1+1/Un
puis phi=1+1/phi et soustrais terme à terme