[terminale S]Récurrence et sommes

[omikron]

Bonjour à tous, je suis actuellement en train de tenter de résoudre un malheureux exercice depuis au moins 3 jours, et j'arrive près de la solution, mais mon résultat est faux et je ne vois pas d'où cela peut venir.

En voici l'énoncé : 2) Déduire que de , on a : , avec étant la somme des cubes des n premiers nombres ( ), et In la somme des n premiers nombres impairs (= ).
De plus, on a

PS: On a déjà prouvé que Sn était égale à n²(n+1)²/4

J'ai donc fait le raisonnement suivant :
On remarque que , donc que , ce qui servira plus tard.

On part de :
Or on remarque que
Donc on a :

On sait que pour tout , donc que , soit (voir égalité précédente).

Donc :










Comme vous le voyez, il y a manifestement une erreur, mais je n'arrive pas à voir où elle est et là je désepère, en plus le contrôle sur la récurrence est pour bientôt, je vais bientôt devenir fou ! :marteau:

Merci de votre aide

[Ericovitchi]

bizarre ton , Tu n'aurais pas oublié d'élever aussi le (n+1) au carré par hasard ?

ou alors ta formule c'est ?

[girdav]

On sait que pour tout , donc que , soit (voir égalité précédente).

Merci de votre aide

Bonjour.
Attention, ceci est vrai pour tout et non tout . En général la somme des cubes d'entiers n'a pas de raison d'être le carré de la somme de ces mêmes entiers.
Soit tu développe le cube, mais alors tu devras connaître , soit tu te sers d'une somme auxiliaire .

[Nightmare]

Salut !

L'erreur est d'écrire que , ceci n'est écrit nulle part !

[omikron]

Oups, désolé pour le temps de réponse, mais j'ai eu des problèmes urgents à régler.

bizarre ton , Tu n'aurais pas oublié d'élever aussi le (n+1) au carré par hasard ?

ou alors ta formule c'est ?

Effectivement tu as raison, je vais rectifier ça.
De même pour girdav, il faut dire que je suis le roi des fautes d'inattention...
Et je ne comprends pas vraiment ta proposition: il faudrait que je pose ?


Par contre, Nightmare, cette formule a été observée suite à , puisque et que

[Nightmare]

La remarque de girdav est la même que la mienne :

Pourquoi l'égalité proposée serait-elle vraie? Tu ne l'as jamais prouvée. Tu as juste prouvé que le carré de la somme de tous les k premiers entiers était égale à la somme des cubes de tous les k premiers entiers. Pourquoi serait-ce encore vrai en considérant seulement les entiers impairs? Il n'y a pas de raison...

[omikron]

Tout simplement en posant k'= 2k-1, on a alors , et donc

[girdav]

Mais dans ce cas ce serait vrai pour avec .

[Nightmare]

Tout simplement en posant k'= 2k-1, on a alors , et donc

Encore une fois, il n'y a pas de raison pour que ce soit vrai.

[girdav]

En fait dans ma suggestion je te proposais de calculer la somme des nombres impairs jusqu'à avec celle des nombres pairs jusqu'à . Ceci peut s'arranger. Puis tu peux calculer séparément elle des nombres pairs jusqu'à grâce à la formule (qui a pour variable ).

[omikron]

Ah oui effectivement, je viens de faire un petit programme et ça ne marche pas, dommage...
Mais dans ce cas je n'ai plus d'idées, et je ne vois vraiment pas la démarche à suivre...
Quelqu'un aurait une piste à m'indiquer ?


EDITION: je n'avais pas vu ton post girdav ; je vais donc m'atteler sur cette piste, et merci encore de votre aide à tous !