Récurrence et divisibilité....aidez moi !!!

[mostdu95]

salut tout le monde
voilà l'énnoncé:
si n est un entier naturel tel que n supérieure ou égale à 1 ; on note
An = (n+1)(n+2)......(2n-1)2n
prouvez par récurrence que An est divisible par 2^n


j'ai vérifié pour n=1 : ça donne An= 2*3*.......*2qui est divisible par 2^1
donc An= k*2^n
donc aprés j'ai du mal à trouvé que c'est vraie pour p(n+1)
j'ai fait ça : (n+2)(n+3).........(2n+1)(2n+2)
et je me bloque là
aidez moi svp

[Oumzil]

si tu veux prouver par récurence ya 2 étapes :
1/ verification tu l'as déjà fais .
2/ on suppose que An est divisible par 2^n et on prouve que An+1 est divisible par 2^(n+1)

voilà ca t'aides ?

[mostdu95]

le 2 je l'ai fai : hypothése de récurrence: (n+1)(n+2).....(2n-1)2n est divisible par 2^n donc An = k*2^n
en fait je me bloque sur p(n+1)

[Oumzil]

petite aide :
An+1 = (n+2)(n+3)......(2(n+1)-1) (2n+2)
= (n+2)(n+3)......(2n+1)(2n+2)
= (n+2)(n+3)......(2n-1)2n(2n+1)(2n+2)
= [An/(n+1)] * [(2n+1) (2n+2) ]

ca t'aide ? vas y termine si tu bloques encore dis le

[Oumzil]

mostdu95 t'es toujours là ?

[mostdu95]

dit moi oumzil comment tu passes de :[HTML] (n+2)(n+3)......(2n-1)2n(2n+1)(2n+2)[/HTML]
à ça:[HTML][An/(n+1)] * [(2n+1) (2n+2) ][/HTML] je sais bien que
An= (n+1)(n+2).....(2n-1)2n
pour quoi t'a divisé par (n+1)?

[panoramix]

Salut,

Le truc qu'il faut toujours faire dans une récurrence, c'est de trouver une relation qui relie les entités An et An+1. Dans ce cas, il n'y a pas une grosse différence (à quelques facteurs multiplicatifs près). J'ai simplement écrit une équation entre les deux termes (quite à mettre des dénominateurs, ce qui ne pose pas de problème puisqu'on sait que An et An+1 sont des nombre entiers) et j'ai rédigé de façon plus propre (j'ai fait disparaître le dénominateur n+1 qui se simplifie avec le numérateur en n+1 qui apparaît dans An+1 quand on décompose 2n+2 en 2(n+1)).
Cherche un peu en essayant de suivre mon raisonnement et tu verras que tu iras naturellement vers la solution.




An+1 = (n+2)...(2n+1)(2n+2) = (n+2)...(2n+1)(n+1)*2
= (n+1)(n+2)...(2n)(2n+1)*2
= An(2n+1)*2
= k*2^n*2*(2n+1)
= k*2^(n+1)*(2n+1)

bye

[Oumzil]

dit moi oumzil comment tu passes de :[HTML] (n+2)(n+3)......(2n-1)2n(2n+1)(2n+2)[/HTML]
à ça:[HTML][An/(n+1)] * [(2n+1) (2n+2) ][/HTML] je sais bien que
An= (n+1)(n+2).....(2n-1)2n
pour quoi t'a divisé par (n+1)?

suffit d'observer An debute de (n+1) (n+2) (n+3) ...(2n)
alors que An+1 debute de (n+2)(n+3) ...(2n)(.....)
ce qui est en bleu c'est An avec (n+1) qui manque ca veut que que ce qui est en bleu multiplié par (n+1) donne An alors ce qui est en bleu est égale à An/(n+1) tu comprends ?

[mostdu95]

ahhhhhhhhhhh ok j'ai compris merci à vous tous car avant je savais pas que si A(n+1)=(n+2).....
QUE çA VEUT DIRE AUSSI QUE A(n+1) = (n+1)(n+2)...
merci à vous tous :id: :id: :id: :id: :id:

[Oumzil]

An+1 = (n+2)...(2n+1)(2n+2) = (n+2)...(2n+1)(n+1)*2
= (n+1)(n+2)...(2n)(2n+1)*2
= An(2n+1)*2
= k*2^n*2*(2n+1)
= k*2^(n+1)*(2n+1)

bye

écoute ce qu'il dit mais bon jvoulais que tu arrives à trouver ca , mais bon l'essentiel c'est que tu le comprends

[Oumzil]

ahhhhhhhhhhh ok j'ai compris merci à vous tous car avant je savais pas que si A(n+1)=(n+2).....
QUE çA VEUT DIRE AUSSI QUE A(n+1) = (n+1)(n+2)...
merci à vous tous :id: :id: :id: :id: :id:

de rien et bonne chance ac tes etudes :lol4:

[nada-top]

Salut,

ne croyez vous pas que la solution est déjà donné par panoramix ?? (meme si il fallait que tu trouve seul ) donc au moins essaie de comprendre ce qu'il a fait .

[Oumzil]

oui c'est ce que je lui ai dis dans le dernier poste de la page precendente du sujet mais bon je sais pas si il est toujours là

[Oumzil]

nada t'as supprimé ton message :doh: ?