[Arithmétique] rechercher 2 nombres

[Boss_maths]

Bonjour,

Je pense que le résultat est bon mais, sûr de moi, j'ai pris quelques libertés dans la rédaction :lol2:

Rechercher deux entiers naturels et qui vérifient :


Solution :
Remarque : les deux expressions sont symétriques, car PGCD (a,b)= PGCD (b,a) et . On peut affirmer que pour chaque couple solution , on aura la solution associée .

On en déduit qu'il existe deux nombres tels que :

Mais comme et ne doivent pas avoir de diviseur commun, il est indispensable de poser :

A ce stade, en substituant, dans la somme, et par les expressions avec et , il vient :

Les treize couples qui vérifient ce nombre sont :
et leurs symétriques , sans oublier .
Cependant, sept couples sont à retenir, ceux qui satisfont à :
.
En définitive, suivant (1), l'ensemble des sept couples associés aux sept couples est :
.

Merci d'avance pour la vérification,
@+ :lol3:

[chan79]

Bonjour,

Je pense que le résultat est bon mais, sûr de moi, j'ai pris quelques libertés dans la rédaction :lol2:

Rechercher deux entiers naturels et qui vérifient :


Solution :
Remarque : les deux expressions sont symétriques, car PGCD (a,b)= PGCD (b,a) et . On peut affirmer que pour chaque couple solution , on aura la solution associée .

On en déduit qu'il existe deux nombres tels que :

Mais comme et ne doivent pas avoir de diviseur commun, il est indispensable de poser :

A ce stade, en substituant, dans la somme, et par les expressions avec et , il vient :

Les treize couples qui vérifient ce nombre sont :
et leurs symétriques , sans oublier .
Cependant, sept couples sont à retenir, ceux qui satisfont à :
.
En définitive, suivant (1), l'ensemble des sept couples associés aux sept couples est :
.

Merci d'avance pour la vérification,
@+ :lol3:

salut
si on regarde le dernier couple
le PGCD de 77 et 77 est 77 et non pas 11
sinon, tu as bien bossé !

[Boss_maths]

Ok merci.
@+ :lol3: