Recherche problèmes ouverts nombres complexes

[Waax22951]

Bonjour,
Auriez-vous des problèmes ouvert sur les nombres complexes s'il vous plaît ?
Merci d'avance et bonne après midi ! :lol3:

[Sake]

Soient trois complexes a,b,c tels que a²+b²+c²-(ab+bc+ac) = 0

Montrer que ce sont les affixes des sommets d'un triangle équilatéral. Réciproque ?

[Waax22951]

Tu entends quoi par "problème ouvert" ?

Je pense principalement à des problèmes avec une ou deux questions qui peuvent être résolus de plusieurs manières et qui demandent de la réflexion :lol3:
(L'exercice de Sake est un bon exemple..!)

Soient trois complexes a,b,c tels que a²+b²+c²-(ab+bc+ac) = 0

Montrer que ce sont les affixes des sommets d'un triangle équilatéral. Réciproque ?

L'habitude m'a plusieurs fois montré qu'il valait mieux que réfléchisse à un problème la journée, donc je ne donnerai pas de réponse ce soir, désolé..!
Par contre j'ai quelques idées de résolutions, donc ce problème me plaît beaucoup, merci !

[Waax22951]

Remarque préliminaire: Tout triangle est équilatéral si et seulement si tous ses angles et tous ses côtés sont égaux. Puisque la somme des angles d'un triangle est égale à radian, on en déduit que chaque angles est égal à radian.
On peut donc dire que les points A, B et C, d'affixes respectifs a, b et c forment un triangle équilatéral si et seulement si .

On pose d'abord, pour tout point d'affixe , la rotation de centre et d'angle notée . Donc l'image d'un nombre complexe par est donnée par la formule suivante:


D'après la remarque préliminaire, on en déduit que ABC est équilatéral si et seulement si
- a est l'image de b par ,
- b est l'image de c par ,
- et c est l'image de a par .

On en déduit donc que ABC est un triangle équilatéral si et seulement a, b et c vérifient le système suivant:


A partir de ce système, calculons .
On a donc:





.


On a donc bien démontré que ABC est équilatéral si et seulement si

[paquito]

Salut Waxx,

Je constate que tu ne fais pas dans la facilité! Je te propose de voir le résultat le plus classique en ce qui concerne la caractérisation complexe des triangles équilatéraux.

On note; et sont les racines 3° de l'unité et (à vérifier) .

Le plan étant orienté (toujours avec les complexes), un triangle équilatéral est dit direct si , indirect sinon.

Soit ABC un triangle équilatéral direct , en considérant le complexe , montrer que

ABC équilatéral est direct .

ABC équilatéral est indirect . (on ne veut aucun calcul)

En déduire:

ABC est équilatéral a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)=0


Si tu veux après, j'en ai un très joli qui s'appelle le problème de Napoléon.

[Moicoucou]

Exercice 1.7.3. Bricolage

Dans une boite à outils, vous disposez de n écrous de diamètres tous différents et des n
boulons correspondants. Mais tout est mélangé et vous voulez appareiller chaque écrou avec le
boulon qui lui correspond. Les différences de diamètre entre les écrous sont tellement minimes
qu’il n’est pas possible de déterminer à l’œil nu si un écrou est plus grand qu’un autre. Il en va
de même avec les boulons. Par conséquent, le seul type d’opération autorisé consiste à essayer un
écrou avec un boulon, ce qui peut amener trois réponses possibles : soit l’écrou est strictement
plus large que le boulon, soit il est strictement moins large, soit ils ont exactement le même
diamètre.
1 - Ecrire un algorithme simple en essais qui appareille chaque écrou avec son boulon.
2 - Supposons qu’au lieu de vouloir appareiller tous les boulons et écrous, vous voulez juste
trouver le plus petit écrou et le boulon correspondant. Montrer que vous pouvez résoudre ce
problème en moins de 2n-2 essais.
3 - Prouver que tout algorithme qui appareille tous les écrous avec tous les boulons doit effectuer
(n log n) essais dans le pire des cas.
Problème ouvert : proposer un algorithme en essais pour résoudre ce problème.

[Waax22951]

Salut Waxx,

Je constate que tu ne fais pas dans la facilité! Je te propose de voir le résultat le plus classique en ce qui concerne la caractérisation complexe des triangles équilatéraux.

On note; et sont les racines 3° de l'unité et (à vérifier) .

Le plan étant orienté (toujours avec les complexes), un triangle équilatéral est dit direct si , indirect sinon.

Soit ABC un triangle équilatéral direct , en considérant le complexe , montrer que

ABC équilatéral est direct .

ABC équilatéral est indirect . (on ne veut aucun calcul)

En déduire:

ABC est équilatéral a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)=0


Si tu veux après, j'en ai un très joli qui s'appelle le problème de Napoléon.

En effet, je n'arrive jamais à trouver la solution la plus simple, et c'est bien là l'un de mes plus grands défauts..!

Je vais commencer dès maintenant à chercher en prenant le café.. Du coup je risque de ne pas être très productif et donc je risque de ne pas répondre avant ce soir ou demain..!
Pour ce qui est de 1, j et , on montre qu'ils sont racines de l'équation relativement facilement:
- donc 1 est une racine de l'équation.

- . D'après la formule d'Euler, on a , donc . (On a pas souvent l'occasion de se servir de cette formule donc j'en profite..!)

- donc est aussi racine de l'équation.

De plus, on a:


Donc on a bien:



Pour le reste, je ne suis juste pas sûr d'avoir compris une phrase:
Le plan étant orienté (toujours avec les complexes), un triangle équilatéral est dit direct si , indirect sinon.
Cela signifie bien que si ABC est indirect, alors , non ?
(Je préfère éviter de faire une erreur de compréhension dès le départ..!)
Je voudrais bien avoir aussi ton problème de Napoléon s'il te plaît ! :lol3:

Moicoucou, je ferais aussi ton problème, merci :lol3:

[paquito]

Avec les complexes, si le plan complexe n'est pas orienté, la notion d'argument n'a plus de sens; donc, comme tu l'a bien compris, un triangle équilatéral indirect vérifie; cette notion est primordiale si on veut définir des rotations. Sinon et constituent une suite géométrique, donc; résultat valable pour toutes les racines n° de l'unité qui forment une suite géométrique de raison .

Je t'envoie mon petit problème dès mon prochain post.

[Waax22951]

Avec les complexes, si le plan complexe n'est pas orienté, la notion d'argument n'a plus de sens; donc, comme tu l'a bien compris, un triangle équilatéral indirect vérifie; cette notion est primordiale si on veut définir des rotations. Sinon et constituent une suite géométrique, donc; résultat valable pour toutes les racines n° de l'unité qui forment une suite géométrique de raison .

Je t'envoie mon petit problème dès mon prochain post.

Très bien, merci beaucoup :lol3:
Pour ta remarque à la fin ("on ne veut aucun calcul"), cela est demandé pour le cas où ABC est indirect ou est-ce pour les deux cas ? :hein:

[paquito]

Très bien, merci beaucoup :lol3:
Pour ta remarque à la fin ("on ne veut aucun calcul"), cela est demandé pour le cas où ABC est indirect ou est-ce pour les deux cas ? :hein:

Non, c'est seulement pour le cas indirect; pour le cas direct, il y quand même un peu de travail!

[paquito]

Salut!

Comme promis, je t'envoie mon problème de Napoléon (il y en a plusieurs; j'en connais 2). On peut penser que Napoléon qui était un excellent mathématicien a particulièrement apprécié celui ci:

On se place dans le plan complexe orienté; est un triangle direct quelconque, extérieurement à , on construit les triangles équilatéraux directs et de centres de gravité respectifs et.

Démontrer que est équilatéral direct et a le même centre de gravité que . Est que cela change quelque chose si on change l'orientation du plan?

PS: l'autre problème de Napoléon que je connais est le suivant:C est un cercle dont on a perdu le centre; retrouver ce dernier en utilisant seulement un compas!

[Moicoucou]

Pour le probleme 2 de napoléon ont prend de corde de même longeur et ont trace ses médiatrices !

[Waax22951]

Pour le probleme 2 de napoléon ont prend de corde de même longeur et ont trace ses médiatrices !

Comment traces-tu une médiatrice avec un compas ?


PS: je ne peux pas répondre mais j'ai vu les problèmes
Pour le premier problème, ça m'arrange de pouvoir faire des calculs, car sinon je ne voyais pas comment faire
Pour le second j'ai une idée, mais juste une question: centre de gravité et barycentre, c'est la même chose, non ?
Pour le dernier, je pense être en mesure de trouver un algorithme pour déterminer le centre lorsqu'on le répète infiniment, mais ça n'a pas beaucoup d'intérêt

[paquito]

Pour le probleme 2 de napoléon ont prend de corde de même longeur et ont trace ses médiatrices !

Et comment on trace les médiatrices avec le compas seul!!
Ce n'est pas du tout un problème de3°!!!

[Waax22951]

Exercice 1.7.3. Bricolage

Dans une boite à outils, vous disposez de n écrous de diamètres tous différents et des n
boulons correspondants. Mais tout est mélangé et vous voulez appareiller chaque écrou avec le
boulon qui lui correspond. Les différences de diamètre entre les écrous sont tellement minimes
qu’il n’est pas possible de déterminer à l’œil nu si un écrou est plus grand qu’un autre. Il en va
de même avec les boulons. Par conséquent, le seul type d’opération autorisé consiste à essayer un
écrou avec un boulon, ce qui peut amener trois réponses possibles : soit l’écrou est strictement
plus large que le boulon, soit il est strictement moins large, soit ils ont exactement le même
diamètre.
1 - Ecrire un algorithme simple en essais qui appareille chaque écrou avec son boulon.
2 - Supposons qu’au lieu de vouloir appareiller tous les boulons et écrous, vous voulez juste
trouver le plus petit écrou et le boulon correspondant. Montrer que vous pouvez résoudre ce
problème en moins de 2n-2 essais.
3 - Prouver que tout algorithme qui appareille tous les écrous avec tous les boulons doit effectuer
(n log n) essais dans le pire des cas.
Problème ouvert : proposer un algorithme en essais pour résoudre ce problème.

Je m'étais dit que j'allait chercher un peu ton problème et je me demandais ce que pouvais signifier ce , car je ne l'avais jamais vue avant, je suis tombé sur cet exercice.. Dans un cours d'algorithmie de l'ENS.. Bien essayé :lol3:
Du coup je le garde sous le coude.. Ou pas !

[Moicoucou]

O_o je les mêmes pas trouver dans un truc d'ENS j'ai taper exercices de math algorithme

[Waax22951]

O_o je les mêmes pas trouver dans un truc d'ENS j'ai taper exercices de math algorithme

http://www.di.ens.fr/~fouque/articles/poly-algo.pdf

Page 16 :lol3:

[Moicoucou]

Et ? je savait pas

[Waax22951]

Et ? je savait pas

Il suffit de voir l'exercice pour se douter que ce n'est pas de l'algorithmique de niveau lycée ^^'
(Au début j'ai pensé que c'était un sujet d'Olympiades, mais j'avais tord ^^)

[Moicoucou]

Mais ta un niveau au dessus du lycée....