Recherche d'extrama , fonction convexe/concave

[Dante0]

Bonjour ,

Je voulais juste avoir quelques précisions sur certaines propriétés des fonctions convexes et concaves et de recherche d'extrema.

condition nécessaire du 1er ordre :

Soit f définie sur un intervalle ouvert I et a appartient à I
Si f est dérivable en a et admet un extremum local sur I en a alors

Je ne comprends pas pourquoi ca ne marche pas si I est fermé ?
Il y'a un exemple avec la fonction définie sur [1,2] , cette fonction admet un max en 2 et =/= 0 mais ca n'aurait pas marché même si on était sur ...

Il y'a une application que je ne comprends pas :

soit
pour trouver les extrema on doit résoudre f'(x) = 0 puis chercher et ?
on trouve et
Et


Pourquoi avoir dit que l'une est convexe et l'autre concave ? C'est une propriété ? (celle que je n'ai pas comprise ?)

Il y'a bien une propriété qui dit que f est convexe sur I (ouvert) ssi
Mais je ne pense pas que ce soit cette propriété qu'on a utilisé ici.

Enfin : quelle est la différence entre ces propriétés :

CN1 et CN2 :
f admet un min local en et
f admet un max local en et

CS2 :
f'(a) = 0 et f''(a) > 0 => admet un min local strict en a
f'(a) = 0 et f''(a) admet un max local strict en a

Sinon dernière question :

f convexe :
CNS : f admet un min global en a

f concave :
CNS : f admet un max global en a

Une fonction convexe ne peut admettre que des minimums et une fonction concave que des maximums ?

Mreci bien !

[vincentroumezy]

Bonjour.
Pour ta première question, c'est important que ce soit un ouvert pour que a soit intérieur à I. Si a est une borne de I (ie si I=[a,b]ou [c,a]), alors la fait que f soit extremal en a n'implique pas que f' vaille 0 comme le montre ton exemple.
Avec ton exemple, sur ]1,2[, f n'admet pas de maximum ni de minimum.

[Dante0]

Bonjour.
Pour ta première question, c'est important que ce soit un ouvert pour que a soit intérieur à I. Si a est une borne de I (ie si I=[a,b]ou [c,a]), alors la fait que f soit extremal en a n'implique pas que f' vaille 0 comme le montre ton exemple.
Avec ton exemple, sur ]1,2[, f n'admet pas de maximum ni de minimum.

Comment ca ?
Tu veux dire que si a est a l'extrémité de I fermé , f'(a) n'est pas forcément égal à 0 ? Mais comment ca se fait justement ? Pourquoi ca marcherait avec l'intervalle ouvert (ce qui n'est même pas toujours le cas comme je l'ai montré avec mon exemple) et pas l'intervalle fermé ... Sachant que dans les 2 cas , a est bien compris dans I ...

[vincentroumezy]

Ca ne marche pas parcque si f est extremal en a une borne de I fermé, ca ne veut pas dire que sur tout autre intervalle ou a n'est pas une borne a est extremal, par exemple, sur [0,1], f(x)=x est maximal en 1, mais sur ]0,2[ par exemple, c'est faux, donc évidemment on ne peut pas avoir f'(1)=0.
Je précise que ton exemple n'invalide en rien le théorème. Tu dis que sur ]1,2[, la fonction f est maximale en 2, mais f'(2)=4. C'est faux, f n'est PAS maximale en 2, elle n'y est même pas définie (quant elle est restreinte à ]1,2[ évidemment), on a .

[Dante0]

Ca ne marche pas parcque si f est extremal en a une borne de I fermé, ca ne veut pas dire que sur tout autre intervalle ou a n'est pas une borne a est extremal, par exemple, sur [0,1], f(x)=x est maximal en 1, mais sur ]0,2[ par exemple, c'est faux, donc évidemment on ne peut pas avoir f'(1)=0.
Je précise que ton exemple n'invalide en rien le théorème. Tu dis que sur ]1,2[, la fonction f est maximale en 2, mais f'(2)=4. C'est faux, f n'est PAS maximale en 2, elle n'y est même pas définie (quant elle est restreinte à ]1,2[ évidemment), on a .

Attends , on est déja en train de mélanger les pinceaux ...
Tu peux me donner un exemple d'une fonction qui admet un max(ou min) sur ]a;b[ et pas sur [a;b] ? C'est ca ma question , a et b tu peux les fixer.

[vincentroumezy]

Oui. f(x)=x sur [0;1] ou ]0;1[, pour le premier le maximum c'est 1 mais la dérivée ne s'annule pas en 1 parcque 1 est une borne, dans le deuxièmre cas, elle n'admet pas de max, et la dérivée ne s'annule pas.
Mais une fonction qui admet un extremum sur ]a;b[ en admet 1 (le même) sur [a;b], mais la réciproque est fausse (cas des bornes).

[Dante0]

Oui. f(x)=x sur [0;1] ou ]0;1[, pour le premier le maximum c'est 1 mais la dérivée ne s'annule pas en 1 parcque 1 est une borne, dans le deuxièmre cas, elle n'admet pas de max, et la dérivée ne s'annule pas.
Mais une fonction qui admet un extremum sur ]a;b[ en admet 1 (le même) sur [a;b], mais la réciproque est fausse (cas des bornes).

Voila ! Je pensais que l'intervalle devait impérativement rester ouvert ... Comment peut-on dire ca alors ? Quel est la raciproque ici ? (juste pour voir si je comprends bien...)

[vincentroumezy]

La réciproque c'est "une fonction qui admet un extremum sur [a;b] en admet 1 sur ]a;b[". C'est faux (prens l'exemple précédent pour t'en convaincre).
Donc f en un point de I ouvert implique f'(a)=0, mais si f est extremal sur une borne de I fermé, cela n'implique pas que f'=0.

[vincentroumezy]

Pour tes questions sur l'exemple de convexité/concavité;
Une fonction f est convexe si et seulement si sa déivée est croissante (soit f"<0 si f est 2 fois dérivable).

[Dante0]

La réciproque c'est "une fonction qui admet un extremum sur [a;b] en admet 1 sur ]a;b[". C'est faux (prens l'exemple précédent pour t'en convaincre).
Donc f en un point de I ouvert implique f'(a)=0, mais si f est extremal sur une borne de I fermé, cela n'implique pas que f'=0.

Donc une fonction qui admet un extremum sur ]a;b[ en admet un sur [a;b] ?

Pour ton second message tu voulais pas écrire f'' > 0 ?

[Dante0]

Up !
J'ai encore pas mal de questions on dirait ... :cry:

[Dante0]

Encore une fois. :we:

[Dante0]

Bon , oublions la théorie un moment.
Comment trouver les extrema de ?

Je dérive une première fois :
Et je résous ?

Ce qui donne ou

Je dérive une seconde fois :

J'injecte les valeurs de x que j'ai trouvé pour :




Du coup je conclus comment ? Je sais que si alors la fonction admet un maximum et elle est concave. Dans ce cas on a ...

De même , est-ce des extrema locaux ou globaux ?

[Dante0]

Peut-on m'éclairer ? :we:

[Dante0]

Je commence a être à court de phrase pour uper le topic... :we:

[Dante0]

up , je fais des efforts la tout de même ... :triste:

[vincentroumezy]

Désolé de pas avoir pu te répondre avant, je ne suis pas en mesure d'utiliser internet durant la semaine :lol3: .
Tu me demandes comment trouver les extremas de f.
Premier point, sur quel ensemble ?
Parcque la méthode de chercher où la dérivée s'annule ne fonctionne pas dans le cas des intervalles fermés (aux bornes évidemment).
Si c'est sur R, la méthode fonctionne pour déterminer les extremums.
De plus, ton maximum est "forcément" local, vu que f tend vers +l'infini en + l'infini.

[Dante0]

Désolé de pas avoir pu te répondre avant, je ne suis pas en mesure d'utiliser internet durant la semaine :lol3: .
Tu me demandes comment trouver les extremas de f.
Premier point, sur quel ensemble ?
Parcque la méthode de chercher où la dérivée s'annule ne fonctionne pas dans le cas des intervalles fermés (aux bornes évidemment).
Si c'est sur R, la méthode fonctionne pour déterminer les extremums.
De plus, ton maximum est "forcément" local, vu que f tend vers +l'infini en + l'infini.

Mais non ne t'excuse pas. :lol3:

Euh quel ensemble ... je sais pas trop ... on va admettre sur R.
Ton post est intéressant , je vais pouvoir comprendre des choses que je n'ai pas encore comprises.
Que veux-tu dire par bornes ? je sais ce que c'est , mais dans l'exemple que j'ai donné , avec quel intervalle (fermé) ce ne serait pas possible ?

Je ne comprends pas ta dernière phrase ! (j'ai l'impression qu'on a déja evoqué ce point mais je me trompe je crois) en quoi le fait que f tende vers +oo en +oo veut dire qu'on parle d'extremum locaux ?

[vincentroumezy]

Par bornes, je veux dire que si f est définie sur [a;b], f peut admettre un extremum en a ou b sans que sa dérivée s'annule.
Mais sur l'intérieur d'un tel intervalle, ça marche.
Ma dernière phrase signifie que si tu admets un maximum en a disons, sa valeur est f(a), mais si ta fonction tend vers +l'infini quelque part, forcément elle dépasera f(a), c'est donc un maximum local.

[Dante0]

Par bornes, je veux dire que si f est définie sur [a;b], f peut admettre un extremum en a ou b sans que sa dérivée s'annule.
Mais sur l'intérieur d'un tel intervalle, ça marche.
Ma dernière phrase signifie que si tu admets un maximum en a disons, sa valeur est f(a), mais si ta fonction tend vers +l'infini quelque part, forcément elle dépasera f(a), c'est donc un maximum local.

Okay donc dans notre exemple la dérivée s'annule en -2 et en 0 donc la technique que j'ai utilisée ne marche pas si on se place sur [-2;0] mais sur ]-2;0[ ca marche ?

Ah oui ok. Mais je me demandais si il n'y avait pas en fait 2 techniques distinctes : une pour trouver les extremums globaux et une pour les extremums locaux (c'est ce que j'avais essayé de comprendre à travers mes question sur les théorèmes dnas mon premier message)