Reccurence terinale

[arwamrr]

bonjour bonjour,
je fais un dm et je bloque sur une question sur le sujet de la récurrence.
en gros, il faut prouver que Sn=Tn sachabt que Sn = 1*2+…+n(n+1) et Tn=1/3n (n+1)(n+2)
j’ai donc commencé a prouver que Sn+1 = Tn+1 et:
Sn+1 = Sn+(n+1)(n+2) = Tn+(n+1)(n+2) (parce qu’on suppose que Sn=Tn)
et Tn+1 = 1/3 (n+1)(n+2)(n+3)

dobc pour revenir a Sn+1 j’ai continué a modifier et ca donne:
Sn+1 = 1/3 (n+1) [n(n+2)+(n+2)]
= 1/3 (n+1) [(n+2)(n+1)]

j’arrive pas a aller plus loins et pourtant je suis si proche du but..
si qlq peut m’aider a comprendre mon erreur ce serais tres gentil !
et vite s’il vous plait !!!!

[mathelot]

bonsoir,

initialisation
S_1=T_1 est vraie

hérédité:
l'hypothése de récurrence (H_n):
S_n=T_n

On calcule alors S_{n+1}
S_{n+1}=S_n+(n+1)(n+2)=T_n + (n+1)(n+2)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)+(n+1)(n+2)
S_{n+1}=(n+1)(n+2)(\frac{n}{3}+1)=\frac{1}{3}(n+1)(n+2)(n+3)=T_{n+1}

L'hypothèse (H_n)est donc héréditaire.

Finalement (H_n) est vraie pour tout entier n >0

[mathelot]

la bonne orthographe est "récurrence"

[arwamrr]

merci beaucoup !!

[mathelot]

vérification

calcul des sommes avec les polynômes de Bernoulli:

somme(k=1 à n) k(k+1)=somme (k=1 à n) k^2 + somme(k=1 à n) k=1/6n(n+1)(2n+1)+1/2n(n+1)

=1/2n(n+1) ( 1/3(2n+1)+1)=1/2n(n+1) (2n+4)/3=n(n+1)(n+2)/3