Rayon des cercles inscrits/circonscrits.

[alexis6]

Bonjour,

Étant intéressé par la géométrie, j'ai lu que dans le plan il existe des relations pour des polygones quelconques entre le rayon du cercle inscrit et le rayon du cercle circonscrit.

- Quels sont les objets mathématiques à utliser pour prouver ces relations? ( exemple, dans le triangle r=R/2 avec r rayon du cercle inscrit, R du circonscrit )
- Plus généralement dans le plan et dans l'espace, comment trouver analytiquement ou géométriquement les centres des cercles/sphères inscrites/circonscrites?

Merci d'avance!

[Ben314]

Salut,

1) Lorsque tu prend un polygone a strictement plus de trois sommets (et évidement autant de coté), il n'y en en général ni cercle circonscrit (il n'y a aucune raison que les sommets soient sur un même cercle), ni cercle inscrit (il n'y a aucune raison que les cotés soient tous tangent à un même cercle)
Par exemple, un rectangle admet un cercle "circonscrit", mais pas de cercle inscrit (sauf si c'est un carré) et un losange admet un cercle "inscrit", mais pas de cercle circonscrit (sauf si c'est un carré).
Donc le cas du triangle qui admet systématiquement un cercle inscrit et un cercle circonscrit est très particulier.

2) Je sais pas où tu es allé pécher ton r=R/2, mais ce n'est vrai que et exclusivement que pour le triangle équilatéral.
Pour un triangle non équilatéral, on a systématiquement r<R/2 et on peut en fait montrer (pas facile avec les outils de terminale vu que ça utilise la notion d'inversion) le Théorème d'Euler qui dit que R(R-r)=d² ou d est la distance entre les centres des deux cercles.

3) Concernant les polygones "particulier" a strictement plus de 3 cotés qui possèdent a la fois un cercle inscrit et un cercle circonscrit, on a aussi une très belle formule qui relie la distance entre les centres des cercles et leurs rayon respectifs (formule dépendant du nombre de coté), mais c'est très compliqué a démontrer (c'est lié au "grand théorème de poncelet" qui utilise d'assez gros outils)

4) Concernant la dernière question "comment trouver les centres des cercles", que ce soit en diml 2 ou plus, et que ce soit par la géométrie ou l'analytique, on utilise le fait que :
- Un point est équidistant de deux points fixés ssi il est sur la médiatrice (dim 2) / le plan médiateur (dim 3) des deux points.
- Un point est équidistant de deux droites (dim 2) / deux plans (dim 3) ssi il est sur une des bissectrices des deux droites (dim 2) / sur un des deux plans bissecteurs des deux plans (dim 3)
A noter que, comme en dim 2, seuls les tétraèdres ont forcément une sphère inscrite et une sphère circonscrite.
Pour les polyèdres "plus gros", on peut n'avoir ni l'un ni l'autre (ou un des deux uniquement).
De plus, en dimension 3, on peut (éventuellement) avoir une troisième sphère qui est tangentes aux arrêtes du polyèdre en plus de l'éventuelle sphère inscrite (tangente aux faces du polyèdre) et de l'éventuelle sphère circonscrite (qui passe par les sommets)

QUESTION : arrive tu a voir, parmi tout les tétraèdres possibles, lesquels admettent une sphère tangente à leur 6 arrêtes ?

[alexis6]

Bonjour,

Tout d'abord merci pour cette réponse très complète et instructive.

Concernant ma première question:

Je me suis rendu compte après coup que ces relations entre rayon du cercle inscrit et rayon du cercle circonscrit n'étaient en fait seulement valable dans le plan pour des polygones réguliers.

Pour la preuve, je crois qu'il suffit de le montrer dans un cas particulier facile ( par exemple le triangle équilatéral de côté 1 ) puis ensuite de conclure par homothétie.

Mais à vrai dire je n'ai pas fait la démo, et je ne vois pas très bien comment s'y prendre exactement.

On peut ensuite parler de généralisation. Concernant l'espace, je ne sais pas très si le rapport entre rayon de sphère inscrite et rayon de sphère circonscrite est toujours constant pour les polyèdres réguliers ( donc les 6 solides platoniciens ). Enfin, pour la généralisation a des polygones cette fois ci quelconques, les rapports ne se conservent pas, quand les deux cercles existent bien.

Cela revient à la seconde question que j'ai pose, c'est à dire comment trouver le centre de cercle inscrit/circonscrit. Mais évidemment la question préliminaire que j'ai oublié est comment prouver leur unicité et existence. À ce stade je suis un peu perdu. De façon assez triviale, il paraît logique qu'on ait l'existence et unicité pour des polygones réguliers, mais après je suis dans le noir...

Ensuite pour trouver les centres, merci pour les définitions. En fait je connaissait déjà la réponse pour le triangle, ou là il suffit de trouver l'intersection des bissectrices/médiatrices, et je voulais savoir la version générale.

Sinon je ne connaissais pas le théorème d'Euler, et c'est intéressant. Pour la question de la sphère qui approche les arêtes du tétraèdre je vais y réfléchir.

Pour info j'ai trouvé ces résultats dans un ancien dictionnaire de maths.