Raisonnement par récurrence Terminale S

[Scorpios]

Bonjour,

J'ai un exercice sur le raisonnement par récurrence à faire pour demain, sauf que je suis pas sûr du tout de mon résultat. Voici l'énoncé:

La suite (Un) est définie par Uo appartient à ]0;1[ et pour tout entier naturel n, Un+1 = Un (2-Un)

Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel n,

0<Un<1

Ma réponse:

Pour tout entier naturel n, Un+1=Un(2-Un) et Uo appartient à ]0;1[
Soit P(n): "0<Un<1" pour tout entier naturel n

Déjà, je ne suis pas sûr du début quand on doit faire l'initialisation avec P(no) à cause de l'intervalle ouvert. Je pense que je n'ai pas le droit d'initialiser en disant que Uo= 0 ou Uo=1, donc je pense faire avec Uo= (1/2)

Initialisation: pour n=0

Uo= (1/2)

0<(1/2)<1 donc P(0) est vrai.


Hérédité:

0<Un+1<1

Un+1=f(Un)
où f(x)=x(2-x)
f est dérivable sur R
f'(x)=-2x+2

f(1)=1

0<Un<1
f est strictement croissante sur ]0;1[
donc f(0)<f(Un)<f(1)
0<Un+1<1

Après j'ai la conclusion habituelle.

Merci d'avance pour toutes réponses.

[Fred_Sabonnères]

Bonsoir


On suppose vrai au rang n donc

Or si alors







or donc
d'où

Tu peux alors conclure que

[Scorpios]

Ok cool merci
Mais ce que j'ai fait est-il bon?