Raisonnement par récurrence

[waterloo]

Bonjour,
On considère la proposition p(n) :9 divise 10^(n) +1
1) prouver l hérédité n appartenant à N

2)que peut on dire p(0),p(1),p(2)

Pour la première j ai prouve l hérédité :
10^(k+1)+1=9(10p-1)
Pour la seconde j obtiens p(0)=2 ,p(1)=11 et p(3)=101. Je ne vois pas ce que je peux dire.
Si quelqu'un pouvez m aiguiller sur cette question. Je vous remercie par avance.

[Mimosa]

Bonjour

Je ne comprends pas comment tu as prouvé l'hérédité.

n'est pas un nombre mais une proposition dans laquelle figure

Ecrire n'a aucun sens!

[waterloo]

Par hypothèse de récurrence, on suppose que 10^(n) +1 est divisible par 9.donc il existe un entier p ( a=b ×p a:dividende b:diviseur ) tel que 10^(k )+1=9p
10^k =9p-1
Apres j ai multiplie par 10 chaque membre.
10^(k+1) = 90p-10
10^(k+1)+1=9(10p-1)
10p _1 est un entier puisque p est un entier.
Donc p(k+1) est vraie, la propriété est héréditaire.

Oui autant pour moi je devrais écrire :

P(0): p= 2/9
P(1) : p=11/9
P(2): p=101/9
Je peux dire qu il y a une relation pour P(1) et P(2) mais pas pour P(0)?

[Sylviel]

Bonjour,

plus exactement tu as montré que
si P(n) est vraie alors P(n+1) est vraie.

Non, P(0) c'est "9 divise 2"
P(1) "9 divise 11"
P(2) "9 divise 101"

que peux tu dire de ces propositions ? (Sont elles vraies ?)

[waterloo]

Un entier naturel est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. En l occurrence ici ce n'est pas le cas donc les propositions sont fausses ?

[Mimosa]

Tu n'as pas besoin de critère pour dire que 2, 11 et 101 ne sont pas divisibles par 9. Ca se fait de tête! Donc
p(0),p(1) et p(2) sont fausses. Ta démonstration de l'hérédité est correcte.

Vois-tu à quoi peux bien servir cet exo?

[Mimosa]

peuT bien!

[waterloo]

Que l hérédité peut être vraie mais pas nécessairement la propriété !
(puisqu'il faut aussi que l initialisation P(0) soit vraie)

[LB2]

Oui tout à fait!

Ici la propriété est fausse car l'initialisation est fausse.

Un autre contre-exemple rigolo c'est "Pour tout n > 0, si j'ai n crayons de couleur dans une trousse, ils sont tous de la même couleur"

Ben bizarement l'hérédité est vraie mais la propriété n'est évidemment pas initialisée à n=2

[beagle]

oui mais l'initialisation est vraie pour n=101,
donc la propriété est vraie à partir de 101

Bon j'ai pas fait le calcul, mais vous non plus!!!!!

[pascal16]

sauf erreur de ma part :
10^(n) +1 est composé, pour n>=1 de
un 1 initial, un 1 final et que des 0.
la somme de ses chiffres est donc 2
il n'est pas divisible par 3 donc pas par 9.

[beagle]

Pour le dire autrement, hérédité vraie, initialisation ne marche pas signifie:
je n'ai pas réussi à démontrer que c'était vrai pour tout n a partir de (dernier échec d'initialisation)

donc soit parce que c'est faux (la proposition), et c'est bien de ne pas avoir démontré que la proposition était vraie dans un tel cas
soit c'est vrai(la proposition) mais pour des n supérieurs a ceux testés

[Lostounet]

oui mais l'initialisation est vraie pour n=101,
donc la propriété est vraie à partir de 101

Bon j'ai pas fait le calcul, mais vous non plus!!!!!

10 est congru à 1 modulo 9
Donc 10^n + 1 = 2 modulo 9


Cela veut dire que 10^n+1 n'est jamais divisible par 9 et que le reste vaut 2 (donc 10^121+1 aura pour reste 2 dans la division euclidienne par 9).

[beagle]

oui mais l'initialisation est vraie pour n=101,
donc la propriété est vraie à partir de 101

Bon j'ai pas fait le calcul, mais vous non plus!!!!!

10 est congru à 1 modulo 9
Donc 10^n + 1 = 2 modulo 9


Cela veut dire que 10^n+1 n'est jamais divisible par 9 et que le reste vaut 2 (donc 10^121+1 aura pour reste 2 dans la division euclidienne par 9).

oui, mais ceci , comme Pascal l'avait précédemment écrit est une démonstration directe que la proposition est fausse pour tout n.
Perso je parle du raisonnement par récurrence.Je n'arrive pas à démontrer par récurrence que c'est vrai ne signifie pas que j'ai démontré que c'est faux.
Cela signifie juste je n'ai pas démontré que c'était vrai car oui j'ai l'hérédité mais je n'ai pas l'initialisation.

Donc mon propos était provocateur avec le 101 de dire initiation marche pas à 1,2,ou 3,
ben on aurait eu l'air malin si cela fonctionnait à partir de 101.
d'ailleurs 101 il ya deux 1 plus 1 cela fait 3 fois le 1 donc c'est divisble par 3 , par exemple...