Raisonnement par recurrence Ts

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Yuno
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Raisonnement par recurrence Ts

par Yuno » 18 Juil 2014, 21:54

…

Montrer que pour tout entier naturel n, (4^n )-1 est un multiple de 3.

complquee…

merci pour vos eclaircissement!



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Sake
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par Sake » 18 Juil 2014, 21:58

Yuno a écrit:…

Montrer que pour tout entier naturel n, (4^n )-1 est un multiple de 3.

complquee…

merci pour vos eclaircissement!

Salut,

. Fini

Après, par récurrence... Un mal nécessaire quoi : l'initialisation est ok. L'hérédité : suppose que blablah est vraie au rang n, montre-le au rang n+1. 4*4^n - 1 = 4*(4^n - 1) + 3 et puis c'est aussi fini.

Yuno
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par Yuno » 18 Juil 2014, 22:10

Est ce que tu peux etre un peu plus precis concernant lheredite , s il te plait.

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Sake
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par Sake » 18 Juil 2014, 22:11

Yuno a écrit:Est ce que tu peux etre un peu plus precis concernant lheredite , s il te plait.

C'est quoi la méthode générique pour une hérédité ?

Yuno
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par Yuno » 18 Juil 2014, 22:17

Montrer que p est vrai pour p(n+1)
En multiplant ou ajoutant etape par etapes aux deux cotes… ?

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par Sake » 18 Juil 2014, 22:20

Yuno a écrit:Montrer que p est vrai pour p(n+1)
En multiplant ou ajoutant etape par etapes aux deux cotes… ?

Pas clair.

La récurrence simple fonctionne en deux étapes : En premier, tu dois montrer que la proposition est vraie pour le premier rang d'étude. Ensuite, il faut montrer que si la propriété est vraie pour un rang n supérieur ou égal au premier rang d'étude, alors elle "reste" vraie au rang suivant. Cette deuxième étape est ce qu'on appelle l'hérédité.

Toute hérédité, pour une récurrence simple, doit donc commencer par une phrase du genre "supposons que la propriété est vraie pour un rang (quelconque) n supérieur à (premier rang d'étude). Montrons qu'elle est vraie au rang n+1".

Yuno
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par Yuno » 18 Juil 2014, 22:24

Oui…
Enfait je comprend pas comment tu es parvenu a 4*4^n-1=4*(4^n-1)+3, et en quoi cette egalite m'aide a conclure que p(n+1) est vrai…

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par Sake » 18 Juil 2014, 22:25

Yuno a écrit:Oui…
Enfait je comprend pas comment tu es parvenu a 4*4^n-1=4*(4^n-1)+3, et en cette egalite m'aide a conclure que p(n+1) est vrai…

Si tu as supposé que 4^n -1 vérifiait la ppté au rang n, que peux-tu dire de 4^n - 1 très justement ?

Je suis arrivé à cette égalité en voulant exhiber 4^n - 1 car on sait qqchose là-dessus.

Yuno
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par Yuno » 18 Juil 2014, 22:28

Euh… que q(n+1) : 4^(n+1)-1 ?……

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par Sake » 18 Juil 2014, 22:31

ben qu'est-ce que tu supposes au début de l'hérédité ?

Yuno
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par Yuno » 18 Juil 2014, 22:33

Je sais pas… que 4^n-1 est un multiple de 3. Mais je sais pas comment l'ecrire en formule mathematique…

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Sake
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par Sake » 18 Juil 2014, 23:14

Yuno a écrit:Je sais pas… que 4^n-1 est un multiple de 3. Mais je sais pas comment l'ecrire en formule mathematique…

Ca veut dire quoi qu'un nombre est un multiple d'un autre ?

Désolé pour le retard, j'étais sorti me promener.

Black Jack

par Black Jack » 19 Juil 2014, 11:43

4^n - 1

= (2^n)² - 1

= (2^n - 1)*(2^n + 1)

2^n n'est pas divisible par 3 et donc le reste de la division de 2^n par 3 est forcément 1 ou 2

Si ce reste vaut 1, alors 2^n - 1 est divisible par 3

Si ce reste vaut 2, alors 2^n + 1 est divisible par 3

...

Mais cette approche n'utilise pas la récurrence.

:zen:

Black Jack

par Black Jack » 19 Juil 2014, 11:54

Par récurrence :

Supposons que 4^k - 1 soit multiple de 3, on a alors : 4^k - 1 = 3.n (n dans N)

Montrons que (4^(k+1) - 1) est alors aussi multiple de 3

4^(k+1) - 1 = 4 * 4^k - 1 = 3*4^k + (4^k - 1) = 3*4^k + 3n = 3*(4^k + n)

et donc on a montré que si 4^n - 1 est multiple de 3 pour n = k, on a aussi 4^n - 1 est multiple de 3 pour n = k+1 (1)
*****
Montrer ensuite que 4^n - 1 est multiple de 3 pour n = 0 (2)
*****
Se servir de (1) et (2) pour conclure ...

:zen:

lorrie
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par lorrie » 01 Aoû 2014, 19:13

Black Jack a écrit:Par récurrence :

Supposons que 4^k - 1 soit multiple de 3, on a alors : 4^k - 1 = 3.n (n dans N)

Montrons que (4^(k+1) - 1) est alors aussi multiple de 3

4^(k+1) - 1 = 4 * 4^k - 1 = 3*4^k + (4^k - 1) = 3*4^k + 3n = 3*(4^k + n)

et donc on a montré que si 4^n - 1 est multiple de 3 pour n = k, on a aussi 4^n - 1 est multiple de 3 pour n = k+1 (1)
*****
Montrer ensuite que 4^n - 1 est multiple de 3 pour n = 0 (2)
*****
Se servir de (1) et (2) pour conclure ...

:zen:


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