Raisonnement par reccurence

[nessma]

bonsoir,
j'ai un exercice que j'esseil a résoudre mais sans résultat, je bloque,
soit n N* démontrer par récurrence que:
la somme de k allant de 1 a k de (-1) puissance k = (n/2) si n pair et (-(n+1)/2) si n impair


j'ai résolu le cas d'initialisation pour n=1, mais pour l'étape d'hérédité je bloque, j'ai besoin d'un coup de pouce

[chan79]

salut
revois l'énoncé

[titine]

salut
revois l'énoncé

J'allais dire la même chose !

[nessma]

voici l'énoncé:

Code: Tout sélectionner

soit n;)N^*  ,montrer par reccurence:
;)_(k=1)^n;)(-1);)^k  k={(n/2  si n pair@-(n+1)/2  si n impair);) 


[titine]

voici l'énoncé:

Code: Tout sélectionner

soit n;)N^*  ,montrer par reccurence:
;)_(k=1)^n;)(-1);)^k  k={(n/2  si n pair@-(n+1)/2  si n impair);) 


Donc si je comprends bien c'est :
la somme de k allant de 1 a n de [(-1)^k * k] k = (n/2) si n pair et (-(n+1)/2) si n impair
C'est bien ça cette fois ?

Moi je traiterais séparément les 2 cas :
1) si n est pair alors n=2p
On doit donc démontrer que :
la somme de k allant de 1 a 2p de [(-1)^k * k] k = 2p/2 = p

2) si n est impair alors n=2p+1
On doit donc démontrer que :
la somme de k allant de 1 a 2p+1 de [(-1)^k * k] k = -(2p+1+1)/2 = -(p+1)

D'accord ?

Pour 1)
Initialisation : pour p= 1 ...........
Hérédité : on suppose que : somme de k allant de 1 a 2p de [(-1)^k * k] k = p
somme de k allant de 1 a 2(p+1) de [(-1)^k * k] k
= somme de k allant de 1 a 2p+2 de [(-1)^k * k] k
= somme de k allant de 1 a 2p de [(-1)^k * k] k + (-1)^(2p+1) * (2p+1) + (-1)^(2p+2) * (2p+2)
= somme de k allant de 1 a 2p de [(-1)^k * k] k - (2p+1) + (2p+2)
= somme de k allant de 1 a 2p de [(-1)^k * k] k + 1
= p + 1

Tu comprends ?

A toi de faire le 2)

[nessma]

Donc si je comprends bien c'est :
la somme de k allant de 1 a n de [(-1)^k * k] k = (n/2) si n pair et (-(n+1)/2) si n impair
C'est bien ça cette fois ?

Moi je traiterais séparément les 2 cas :
1) si n est pair alors n=2p
On doit donc démontrer que :
la somme de k allant de 1 a 2p de [(-1)^k * k] k = 2p/2 = p

2) si n est impair alors n=2p+1
On doit donc démontrer que :
la somme de k allant de 1 a 2p+1 de [(-1)^k * k] k = -(2p+1+1)/2 = -(p+1)

D'accord ?

Pour 1)
Initialisation : pour p= 1 ...........
Hérédité : on suppose que : somme de k allant de 1 a 2p de [(-1)^k * k] k = p
somme de k allant de 1 a 2(p+1) de [(-1)^k * k] k
= somme de k allant de 1 a 2p+2 de [(-1)^k * k] k
= somme de k allant de 1 a 2p de [(-1)^k * k] k + (-1)^(2p+1) * (2p+1) + (-1)^(2p+2) * (2p+2)
= somme de k allant de 1 a 2p de [(-1)^k * k] k - (2p+1) + (2p+2)
= somme de k allant de 1 a 2p de [(-1)^k * k] k + 1
= p + 1

Tu comprends ?

A toi de faire le 2)

2) pour n impair:

initialisation:

pour n=1:
(-1)^1 *1=-(1+1)/2
-1=-1

hérédité:
on suppose que : somme de k allant de 1 a 2p+1 de [(-1)^k * k] = -(p+1)
somme de k allant de 1 a 2(p+1)+1 de [(-1)^k * k]
= somme de k allant de 1 a (2p+3) de (-1)^k * k]
=somme de k allant de 1 a (2p+1) de (-1)^k * k] + [ (-1)^(2p+2) * (2p+2)] +[ (-1)^(2p+3) * (2p+3)]
=somme de k allant de 1 a (2p+1) de (-1)^k * k] + (2p+2) - (2p+3)
=somme de k allant de 1 a (2p+1) de (-1)^k * k] -1

la je bloc

[titine]

2) pour n impair:

initialisation:

pour n=1:
(-1)^1 *1=-(1+1)/2
-1=-1

hérédité:
on suppose que : somme de k allant de 1 a 2p+1 de [(-1)^k * k] = -(p+1)
somme de k allant de 1 a 2(p+1)+1 de [(-1)^k * k]
= somme de k allant de 1 a (2p+3) de (-1)^k * k]
=somme de k allant de 1 a (2p+1) de (-1)^k * k] + [ (-1)^(2p+2) * (2p+2)] +[ (-1)^(2p+3) * (2p+3)]
=somme de k allant de 1 a (2p+1) de (-1)^k * k] + (2p+2) - (2p+3)
=somme de k allant de 1 a (2p+1) de (-1)^k * k] -1

la je bloc

Comme tu as supposé que somme de k allant de 1 a 2p+1 de [(-1)^k * k] = -(p+1)
alors :
S de k allant de 1 a 2(p+1)+1 de [(-1)^k * k] = S de k allant de 1 a (2p+1) de (-1)^k * k] -1
= -(p+1) - 1
= -(p+2)
ce qui prouve que si la propriété est vraie au rang p alors elle est vraie au rang p+1

[nessma]

Comme tu as supposé que somme de k allant de 1 a 2p+1 de [(-1)^k * k] = -(p+1)
alors :
S de k allant de 1 a 2(p+1)+1 de [(-1)^k * k] = S de k allant de 1 a (2p+1) de (-1)^k * k] -1
= -(p+1) - 1
= -(p+2)
ce qui prouve que si la propriété est vraie au rang p alors elle est vraie au rang p+1

merci beaucoup pour l'aide