Racines d'un polynome du quatrième degré

[banban56]

Bonsoir a tous,

Voila, je dois aider ma cop pour son DM mais il y a un truc ou je bloque là, c'est la résolution d'un polyome de degré quatre :
-4x^4 + 4x^3 - 11x² - x + 3

Le truc pourtant tout con mais ca va faire plus de deux ans que j'ai fait ça et là, a vrai dire je sais pas comment faire en restant dans son niveau de première... J'ai bien vu une racine évidente qui était 1/2 puis après j'aurai fait une division euclidienne mais dans l'énoncé il dise que trouver une racine par conjecture graphique n'était pas la solution :hum: Un avis ? Je serai moi, j'airai faire ca avec le plan complexe mais ca dépasse les cours de première là ...

[Yugi]

Bon soir à vous tous.
Je ne sais pas si cette méthode peut être utilisée en 1ère mais elle n'est pas trés compliquée.
On se rend compte que f(0.5)=f(-0.5)=0 et donc f(x) peut s'écrire sous la forme : f(x)=(x-0.5)(x+0.5)*g(x)

Les 2 premiers facteurs étant de degré 1 et f étant une fonction de degré 4 il faut donc que g soit de degré 2 d'où :
f(x)=(x-0.5)(x+0.5)(ax²+bx+b) (a, b et c étant des réels)
en développant et en ordonnant on obtient :

f(x)=(a)x^4+(b)x^3+(c-a/4)x²+(-b/4)x+(-c/4)

en procédant par identification, on obtient un système de 5 équations à 3 inconnues :

a=-4
b=4
c-a/4=-11 ==> -12-(-4)/4==-11 OK
-b/4=-1 ==> -4/4=-1 OK
-c/4=3 <=> c=-12

ainsi , en remplacant on obtient :

g(x)=(-4x²+4x-12)
on calcul delta=4²-4*(-4)-(-12)=-176<0
g n'admet donc pas de racine dans R

On conclut donc que la fonction f(x)=(x-0.5)(x+0.5)(-4x²+4x-12) admet 2 solutions que sont -0.5 et 0.5

en espérant t'avoir aidé