Questions sur le produit de diviseurs positifs..

[flo2708]

Salut tout le monde, voila un exo d'entrainement au controle sur lequel je bute, et je voulais vous demander un peu d'aide :

1. Soit l'entier n = 200.

a)Déterminer l'ensemble des diviseurs positifs de n.
b)Soit N le nombre de diviseurs de n et P le produit de ces diviseurs. Vérifier la relation (1) : n^N = p².

2. Soit l'entier n = 2^a*5^b, avec a et b naturels.

a)Montrer que le nombre de diviseurs de n est :
N = (a+1)(b+1).

b)Calculer le produit P de ces diviseurs.
c)L'égalité (1) est-elle encore vraie?
d)Déterminer l'entier n, de la forme 2^a*5^b, sachant que P = 20^42


-----------------------------------------------------------------

Pour le 1. ca va.
Mais le 2 je n'y arrive vraiment pas, je ne sais pas par où commencer..

Voila si quelqu'un aurait un conseil a me donner .. Merci a vous

[flo2708]

Salut tout le monde, voila un exo d'entrainement au controle sur lequel je bute, et je voulais vous demander un peu d'aide :

1. Soit l'entier n = 200.

a)Déterminer l'ensemble des diviseurs positifs de n.
b)Soit N le nombre de diviseurs de n et P le produit de ces diviseurs. Vérifier la relation (1) : n^N = p².

2. Soit l'entier n = 2^a*5^b, avec a et b naturels.

a)Montrer que le nombre de diviseurs de n est :
N = (a+1)(b+1).

b)Calculer le produit P de ces diviseurs.
c)L'égalité (1) est-elle encore vraie?
d)Déterminer l'entier n, de la forme 2^a*5^b, sachant que P = 20^42


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Pour le 1. ca va.
Mais le 2 je n'y arrive vraiment pas, je ne sais pas par où commencer..

Voila si quelqu'un aurait un conseil a me donner .. Merci a vous

Je sais que les diviseurs de n sont de la forme 2^p*5^q ; donc p et q peuvent prendre respectivement 'p+1' et 'q+1' valeurs différentes.
Mais je ne vois pas comment l'écrire proprement.

Pour calculer P je ne comprend toujours pas comment obtenir les diviseurs seulement à partir du nombre qu'il y en a.
Si quelqu'un pourrait m'éclairer.. je l'en remercit.
Bonne journée

[flo2708]

Je sais que les diviseurs de n sont de la forme 2^p*5^q ; donc p et q peuvent prendre respectivement 'p+1' et 'q+1' valeurs différentes.
Mais je ne vois pas comment l'écrire proprement.

Pour calculer P je ne comprend toujours pas comment obtenir les diviseurs seulement à partir du nombre qu'il y en a.
Si quelqu'un pourrait m'éclairer.. je l'en remercit.
Bonne journée

Le produit P je pense avoir trouvé :

pour p=0 on a b+1 valeurs possibles de q, de 0 à b
pour p=1 on a b+1 valeurs possibles de q, de 0 à b
pour p=2 on a b+1 valeurs possibles de q, de 0 à b
...
pour p=a on a b+1 valeurs possibles de q, de 0 à b
finalement tu a (a+1) fois (b+1) diviseurs, donc on a (a+1)(b+1) diviseurs

Pour le produit de ces diviseurs, on sait que, pour un nombre donné x et deux exposants k et l, x^k.x^l=x^(k+l). Pour comprendre ce qui se passe pour P, on prend le cas simple a=2, b=3. Tu as :
P=(2^0.5^0).(2^0.5^1).(2^0.5^2).(2^0.5^3).(2^1.5^0).(2^1.5^1).(2^1.5^2).(2^1.5^3).(2^2.5^0).(2^2.5^1).(2^2.5^2).(2^2.5^3)
Maintenant on regroupe les puissances de 2 et de 5 et faisant la somme des exposants :
P=2^(0+0+0+0+1+1+1+1+2+2+2+2).5^(0+0+0+1+1+1+2+2+2+3+3+3)
Ou encore :
P=2^(4.(0+1+2)).5^(3.(0+1+2+3))
Et tu sais que 0+1+2=2.3/2=2
et 0+1+2+3=3.4/2=6
et plus généralement
0+1+2+...+n=n(n+1)/2
Finalement, pour le cas simple :
P=2^12.5^18
Et pour le cas général :
P=2^((q+1)p(p+1)/2)).5^(p+1)q(q+1)/2)).


Mais pour le 3. et le 4. je ne suis pas plus avancé..

[flo2708]

Le produit P je pense avoir trouvé :

pour p=0 on a b+1 valeurs possibles de q, de 0 à b
pour p=1 on a b+1 valeurs possibles de q, de 0 à b
pour p=2 on a b+1 valeurs possibles de q, de 0 à b
...
pour p=a on a b+1 valeurs possibles de q, de 0 à b
finalement tu a (a+1) fois (b+1) diviseurs, donc on a (a+1)(b+1) diviseurs

Pour le produit de ces diviseurs, on sait que, pour un nombre donné x et deux exposants k et l, x^k.x^l=x^(k+l). Pour comprendre ce qui se passe pour P, on prend le cas simple a=2, b=3. Tu as :
P=(2^0.5^0).(2^0.5^1).(2^0.5^2).(2^0.5^3).(2^1.5^0).(2^1.5^1).(2^1.5^2).(2^1.5^3).(2^2.5^0).(2^2.5^1).(2^2.5^2).(2^2.5^3)
Maintenant on regroupe les puissances de 2 et de 5 et faisant la somme des exposants :
P=2^(0+0+0+0+1+1+1+1+2+2+2+2).5^(0+0+0+1+1+1+2+2+2+3+3+3)
Ou encore :
P=2^(4.(0+1+2)).5^(3.(0+1+2+3))
Et tu sais que 0+1+2=2.3/2=2
et 0+1+2+3=3.4/2=6
et plus généralement
0+1+2+...+n=n(n+1)/2
Finalement, pour le cas simple :
P=2^12.5^18
Et pour le cas général :
P=2^((q+1)p(p+1)/2)).5^(p+1)q(q+1)/2)).


Mais pour le 3. et le 4. je ne suis pas plus avancé..

Personne a une idée svp?

[flo2708]

Personne a une idée svp?

Pour le 2)c. afin de prouver si l'égalité (1) est encore vraie, faut-il calcuer p² ?
Car si P=2^((a+1)a(b+1)/2)).5^(a+1)b(b+1)/2)).
Alors P²=[2^((a+1)a(b+1)/2)).5^(a+1)b(b+1)/2)]²
P²= 2^(a+1)a(b+1).5^(a+1)b(b+1)

Or n^N = (2^a * 5^b)^((a+1)(b+1)) = 2^(a(a+1)(b+1)) * 5^(b(a+1)(b+1))

Donc p² = n^N

C'est correct vous pensez?

Pour le 2)d.
p = 20^42
p² = 20^84
donc n^N = 20^84 = 2^a * 5^b

Mais la je ne sais par où commencer ma simplification... :s

[flo2708]

Pour le 2)c. afin de prouver si l'égalité (1) est encore vraie, faut-il calcuer p² ?
Car si P=2^((a+1)a(b+1)/2)).5^(a+1)b(b+1)/2)).
Alors P²=[2^((a+1)a(b+1)/2)).5^(a+1)b(b+1)/2)]²
P²= 2^(a+1)a(b+1).5^(a+1)b(b+1)

Or n^N = (2^a * 5^b)^((a+1)(b+1)) = 2^(a(a+1)(b+1)) * 5^(b(a+1)(b+1))

Donc p² = n^N

C'est correct vous pensez?

Pour le 2)d.
p = 20^42
p² = 20^84
donc n^N = 20^84 = 2^a * 5^b

Mais la je ne sais par où commencer ma simplification... :s

Personne a une petite idée svp?