Question de vocabulaire sur les ensembles

[Tnak10]

Bonsoir,

Dans un DM où il faut spécifier les ensembles, leur bornes supérieure et inférieure et leurs extrema, parmi les ensembles je tombe sur le singleton { 0 }, est-il exact de dire que 0 est à la fois borne supérieure et inférieure, maximum et minimum de l'ensemble, ou bien qu'il n'en existe pas dans cet ensemble ? Cette question peut paraître stupide mais des conclusions impropres au niveau du vocabulaire enlèvent parfois des points.

Merci

[Ben314]

Salut,
Ca n'a absolument rien a voir avec des "problèmes de vocabulaire".
Autant dans des domaines comme les probas. où l'énoncé utilise fréquemment des mots "de la langue de tout les jours" on a régulièrement "des problèmes de vocabulaires", autant dans ce domaine là, il ne peut pas y en avoir :
Les termes "maximum", "minimum", "borne supérieure", "borne inférieure" et "extrémum" on des définition on ne peut plus rigoureuse en math donc ne sont pas susceptible du moindre début "d'erreur de vocabulaire".

Par exemple, concernant la notion (la plus simple) de "Maximum", il y a zéro ambiguïté : le réel 0 appartient à l'ensemble A={0} et il est supérieur ou égal à tout les éléments de A={0} (vu qu'il est plus grand ou égal à 0) donc 0 est le maximum de l'ensemble A={0} (le "le" provient du fait qu'on sait que, lorsqu'un ensemble admet un maximum, il est forcément unique)

Peut tu me dire dans les 3 lignes ci dessus à quel endroit, à ton avis, il pourrait éventuellement y avoir un "problème de vocabulaire" ?

P.S. Et de répondre par exemple que "{0} n'a pas de maximum", ben le prof. il risque pas de considérer que c'est une "erreur de vocabulaire" et de "t'enlever parfois des points". Il considèrera bien plus simplement que c'est une (énorme) erreur de logique et te mettra forcément zéro !

[Tnak10]

Merci beaucoup.
J'en conclus donc que 0 est bien maximum, minimum, borne supérieure et borne inférieure de l'ensemble {0} puisque les définitions de ces concepts sont pourvues d'un "ou égal".

[capitaine nuggets]

Salut !

Pour le lever tout doute, dans le cas d'un ensemble , la borne sup de (resp. la borne inf de ) est le plus petit (rersp. grand) des majorants (resp. minorants) de : il existe toujours et peut éventuellement être infini ! Si ce sup (resp. cet inf) appartient à alors on dit que c'est un max de (resp. un min de ) : il n'existe pas toujours !

Là on est dans un cas où sup = max = min = inf

P.S. : "sup", "max", "inf", "min" signifient respectivement "supremum", "maximum", "infimum", "minimum"

[Ben314]

J'en conclus donc que 0 est bien maximum, minimum, borne supérieure et borne inférieure de l'ensemble {0} puisque les définitions de ces concepts sont pourvues d'un "ou égal".

Concernant cette histoire d'inégalité large, une petite question, "juste pour voir" :

Supposons qu'on définisse la notion de schmilblick d'une partie A de R de la façon suivante :
Un réel s est appelé un schmilblick de la partie A de R lorsque s est dans A et que tout élément de A est strictement plus petit que s.

Tu penserait quoi de cette notion de "schmilblick" ?

[Tnak10]

Un réel s est appelé un schmilblick de la partie A de R lorsque s est dans A et que tout élément de A est strictement plus petit que s.

Tu penserait quoi de cette notion de "schmilblick" ?

Cette notion est une impossibilité non ? Autrement s ne serait pas élément de A.

[Ben314]

Tour à fait, donc pour les notions de maximum/minimum, il n'y a pas le choix : on doit forcément mettre des inégalités large.
Par contre, pour la notion de majorant/minorant, là , on pourrait éventuellement mettre des inégalités strictes, et on le fait parfois en parlant de "majorant/minorant strict", mais c'est pas super futé, vu que le maximum d'un ensemble (lorsqu'il existe) n'est pas un "majorant strict" de l'ensemble en question. (de même ça pose des problèmes pour définir les bornes supérieures/inférieures vu que l'ensemble des majorants stricts d'un ensamble A non vide n'a pas forcément de minimum)

[Tnak10]

J'ai compris Merci pour ces éclaircissements