Question

[Jkookarmy]

Bonjour, j’ai une question.

Comment demontrer que U(n) croissante et V(n) décroissante ?

U(n) = sigma k=1, n : 1/k^2
V(n) = U(n) + 1/n

J ai déjà prouvé par récurrence que V(n)>=U(n)

Pouvez vous me donner une piste svp, je sais que pour U(n) : U(n+1)>=U(n) et pour V(n) : V(n+1)<=V(n). J ai essayé d écrire avec 1(k+1)^2 et tout ça mais ça ne fonctionne pas.

Merci d’avance.

[vam]

Bonjour
ne garde pas le signe sigma, développe ta somme
le calcul de va très vite te donner la réponse

fais de même pour la suite v, calcule , tout mettre au même dénominateur, et tu obtiendras le résultat cherché

[Jkookarmy]

Pour V(n) j ai trouvé, -1/(n+1)^2 donc c est bien un résultat négatif la suite est décroissante, par contre je n ai pas trouvé pour U(n) j ai trouvé aussi -1/(n+1)^2


Comment faire pour transformer le dénominateur n^2 en (n+1)^2 ?

[vam]

comment écris-tu sans le signe sigma
comment écris-tu sans le signe sigma ?

[lyceen95]

Pour V(n), tu as trouvé ?????

Montrer que la suite U est croissante : niveau de difficulté 5 sur une échelle de 1 à 100.
Montrer que la suite V est décroissante : niveau de difficulté 80 sur une échelle de 1 à 100.

[Jkookarmy]

U(n)= 1/n^2
J’avais écrit : 1/(n+1)^2 - 1/n^2
Mais je trouve un résultat négatif alors que c’est supposé être une suite croissante.
V(n)=1/n^2 + 1/n
J’avais ecrit : 1/(n+1)^2 + 1/(n+1) -(1/n^2 + 1/n)
Et là j’avais trouvé un résultat négatif : -1/(n+1)^2
Mais je crois que je me suis trompée en modifiant le dénominateur de n^2 en (n+1)^2

Voilà...

[lyceen95]

U(n) n'est pas 1/n² mas la somme de tous les nombres de cette forme, c'est à dire, par exemple :
U(10) = 1/1² +1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² + 1/6² + 1/7² + 1/8² + 1/9² + 1/10²

Ecris U(11) sous la même forme, puis écris U(11)-U(10) .
C'est juste un exemple, mais ça devrait bien te mettre sur la voie pour calculer U(n+1)-U(n).

[Jkookarmy]

1/11^2 - 1/10^2

U(n+1) - U(n)
= 1/n^2 - 1/(n-1)^2

?

[vam]

Peux-tu écrire U(11) comme on te l'a demandé, rien que cela pour le moment ? lyceen95 t'a écrit U(10)

[lyceen95]

Il y a une règle générale dans les exercices.
En général, plus on avance dans l'exercice, plus les questions sont compliquées. Donc quand tu dis que tu as su faire la question 2, et que tu butes sur la question 1, ce n'est pas normal. Déjà ça, ça devrait t'alerter, il y a un truc pas très normal. Ce n'est pa très 'mathématique' comme argument, mais c'est efficace.
La question 1, c'est en général la plus simple. Et du coup, des fois, c'est une question quasiment évidente.

Autre point. Dans ton tout 1er message, tu avais écrit :

J ai déjà prouvé par récurrence que V(n)>=U(n)

Tu as utilisé une démonstration par récurrence pour montrer que V(n) >= U(n) ??? ??? Je serais curieux de voir ça.

[Jkookarmy]

U(11)= 1/11^2

[Jkookarmy]

Et j ai écrit ça pour la récurrence même s’il est évident du coup maintenant que c’est faux.

Initialisation : n=1
U(1)=1/1^2=1
V(1)=U(1)+1/1=2
U(1)<=V(1)
Hérédité : soit k appartient à N*
On suppose que la propriété est vraie au rank, cad, V(k)<=U(k)
On suppose... V(k+1)<=U(k+1)
On suppose que V(k)<=U(k)
V(k) + 1/k >= U(k) + 1/k

On retrouve V(k) dans le membre de droite. Et V(k) + 1/k >= V(k)
Conclusion: ... V(n) >= U(n)

[lyceen95]

U(11) = 1/11² <--- FAUX. Tu ne peux pas faire quoi que ce soit dans cet exercice tant que tu fais cette même faute.

Si tu veux montrer que V(n)>U(n) (ce n'est pas demandé, mais montrons-le quand même)
D'après la définition de V(n), V(n)-U(n) = 1/n
Ce nombre est strictement positif, donc V(n) >U(n). Fin de la démonstration.

[Jkookarmy]

Daccord je comprends pour la démonstration, et je sais que u(11) c’est la somme à partir de 0/1 mais je sais pas comment faire pour le cas général

[lyceen95]

3 jours sur cet exercice, avec des morceaux de phrases ... ce n'est pas des maths.
Reprend tout.
La première question est : montrer que la suite U est croissante.
Tu en es où pour cette question ?
Quelle est la méthode générale pour montrer qu'une suite est croissante. Ca donne quoi ici ?
Il vaut mieux passer une fois 3 minutes, pour réfléchir correctement à cette question, et trouver la solution. Plutôt que passer 10 fois 30 secondes, et n'arriver à rien.

[Jkookarmy]

J’ai dû passer au moins plus d une heure à y réfléchir la dernière fois ... mais en fait j arrive jamais à demontrer qu une suite est croissante/décroissante. Je sais toutes les possibilités de mon niveau : faire U(n+1)-U(n) ou U(n+1)/U(n) ou faire avec f(x) mais là avec le Sigma je sais pas comment faire.

L’intégralité de l’énoncé est :

On va étudier des exemples de suites adjacentes, c’est à dire des suites U(n) et V(n) telles que U(n) est croissante, V(n) est décroissante et lim n->+infini (V(n)-U(n)) = 0.
(On a jamais vu les suites adjacentes)

Soit U(n)= sigma k=1, n : 1/k^2 et V(n) = U(n) + 1/n pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1.

1- Montrer que U(n)>=V(n) pour tout entier naturel j supérieur ou égal à 1. (La demonstration du coup ecrit précédemment)
2- Montrer que les suites U(n) et V(n) sont respectivement croissante et décroissante. (Je suis coincée ici du coup, Je sais pas ce qu’est U(n) et U(n+1), sigma, k=1, n+1 : 1/(k+1)^2 - sigma, k=1, n : 1/k^2 (Je crois, lais comment calculer ça avec les sigmas...)
3- Montrer que les suites U(n) et V(n) sont respectivement majorée et minorée.
(Il est dire que si elle est croissante et minorée elle admet une limite finie et pareil pour V(n) ?)
4- Montrer que les suites U(n) et V(n) convergent puis justifier qu’elles ont la même limite.
(Et la du coup jsp vu que je réponds à ça avant)

On peut démontrer le théorème suivant : “si deux suites U(n) et V(n) sont adjacentes alors elles convergent vers le même réel L”
(Je sais pas si ici il faut réellement écrire une démonstration ou non...)

Il y a aussi noté ça sur le côté : Piste, pour tout entier naturel n, U(n)<=V(n)<=V(0) (mais ça ne peut pas servir de justification du coup)


Voilà désolé c’est super long, mais bon c est tellement frustrant de pas arriver à comprendre, je veux vraiment réussir... merci pour votre aide en tout cas.

[lyceen95]

Je cite :
j arrive jamais à demontrer qu une suite est croissante/décroissante. Je sais toutes les possibilités de mon niveau : faire U(n+1)-U(n)
J'enlève volontairement U(n+1)/U(n) ...

faire U(n+1)-U(n), ça veut dire quoi ? La phrase est finie, ou il manque la suite ? En maths, il faut être rigoureux, il ne faut pas écrire des morceaux de phrases, mais des phrases complètes.

[Jkookarmy]

U(n+1)-U(n) >= 0 (suite croissante)
U(n+1)-U(n) <= 0 (suite décroissante)

[Jkookarmy]

La suite est croissante dans le premier cas et décroissante dans le deuxième

[Jkookarmy]

Finalement j ai trouvé : 1/(n+1)^2 >= 1/n^2 et comme n>=1, la suite U(n) est croissante.
J’ai écrit au préalable (1/1^2 + 1/2^2 + .... 1/(1+n)^2) - (1/1^2 + 1/2^2 + ... + 1/n^2) >= 0 j’ai supprimé les termes identiques et j ai trouvé le résultat.

Pour V(n) j’ai écrit : U(n+1) +1/(n+1) -(1/n^2 + 1/n)>=0

Est ce correct ?