Question sur une intégrale

[Mattou64]

Bonsoir ! Ce soir je me suis entraîné sur le sujet bac s de maths centres étrangers 2012 du 13 juin (voici une adresse pour se le procurer : http://www.apmep.asso.fr/BAC-S-2011-2012-11-sujets-10 )
J'ai une question par rapport à l'exercice 2 sur les intégrales, et plus spécifiquement la dernière question à initiative personnelle sur la recherche de la limite l.

Je pensais avoir deux techniques différentes : la première consiste à encadrer In avec 0 et une autre fonction. Celle-ci marche et on obtient une limite qui tend vers 0.

Cependant, c'est là que je sollicite votre aide, car je ne suis pas certain de ma deuxième méthode. En fait, en faisant l'exercice on démontre que l'on peut exprimer In+2 en fonction de In : on a donc une relation de récurrence entre In+2 et In telle que In+2 = fn(In) avec fn(x) = 1/2 e - [(n+1)/2]x
non ?
On pourrait donc appliquer la propriété selon laquelle si une suite et convergente en L, et la fonction qui définit sa relation de récurrence est continue en L, alors L est solution de l'équation L = f(L). Ainsi on trouve L = e/(n+3), donc lorsque n tend vers + l'infini, L = 0. Ce raisonnement est-il juste ?
Merci de vos lumières, car sur les sites de correction, je n'ai trouvé que la première méthode en général.

Bonne soirée, et merci à ceux qui auront pris le temps de lire ce pavé !

[Mortelune]

Bonsoir.

On peut trouver quelques problèmes dans la seconde méthode déjà parce qu'on change de fonction à chaque itération on n'a donc pas vraiment une suite du type , du coup même si on a vu avant que la limite existait et était unique on ne peut pas dire grand chose le n ayant une double influence dans la relation de récurrence, il faudrait justifier le fait que vous faites tendre n vers l'infini en deux temps et ça a peut de chance d'aboutir je pense (avec cette méthode on pourrait dire que la limite en l'infini de n/n est nulle en faisant d'abord tendre le dénominateur vers l'infini, ce qui est évidemment faux).

edit: la première méthode étant une majoration assez brutale, au niveau des justifications c'est quand même beaucoup moins hasardeux :we:

[Mattou64]

D'accord, je comprends mieux merci !
D'ailleurs, je suis d'accord qu'on change de fonction à chaque itération étant donné que le n influence, dans mon premier post j'avais marqué : u_{n+2}=f_n(u_n) en fait mais ne maitrisant pas vraiment les options d'écriture du site ... ^^'