Question sur les vecteurs, barycentres.

[Mister Red]

Bonjour je suis en 1èere S et je bloque sur cette question assez compliqué et j'aurai besoin de votre aide :

On considère un triangle ABC :
- G le barycentre des points (A,1), (B,-1) et (C,1)
- G' le barycentre des points (A,1), (B,5) et (C,-1)
- J milieu de [AB]
- I le barycentre des points (B,2) et (C,-1)

question : Soit D un point quelconque du plan, O le milieu de [CD] et K le milieu de [OA].
Déterminer trois réels a, d et c tels que K soit le barycentre de (A,a), (D,d) et (C,c).



Je ne sais vraiment pas comment faire, j'ai cherché avec l'associativité du barycentre mais rien à faire... help me.

[hellow3]

Pars des définition.

K milieu de [OA], donc KO+KA = 0

O milieu de [CD], donc O est aussi le barycentre de (C,1) et (D,1).
Donc: KO= 1/2(KC+KD)

....

[Mister Red]

Ok mais je dois trouver quelle relation vers la fin ?

[hellow3]

Un truc du genre:
aKA + cKC + dKD = 0

[Mister Red]

Oui j'avais compris mais j'arrive pas à voir comment le démontrer.

[hellow3]

Pars des définition.

K milieu de [OA], donc KO+KA = 0 (1)

O milieu de [CD], donc O est aussi le barycentre de (C,1) et (D,1).
Donc: KO= 1/2(KC+KD).

On remplace dans (1) KO par sa valeur, et on a:

1/2KC + 1/2KD + KA = 0

donc: a=1 b=1/2 c=1/2

[Mister Red]

Je comprend grâce au dessin merci mais il ne faut pas démontrer que KO=1/2(KC+KD) ?

[hellow3]

Eh bien si le dessin t'aide, trace un point O milieu de 2 points C et D.

Puis tu prends un point K quelconque.
Si tu dessines le point K' tel que KK' = 2 KO (vecteurs)

Tu verras que KCK'D est un parallélogramme.
Donc KC = DK' et KD = CK'. (1)

KK' = 2KO puisque K' symétrique de K par rapport à O.(2)


Or KK' = KC + CK'.
(1) implique KK' = KC + KD
(2) implique 2 KO = KC + KD

Donc: KO = 1/2(KC + KD)


Sinon, je sais pas ou t'en est dans ton cours. Normalement y'a pas besoin de le démontrer, mais je sais pas ce que tu est sensé savoir...

[Mister Red]

Arf merci oui le dessin est fait donc je m'aide du dessin... Merci pour ton aide, a bientot.