Question suite définie par Un+1 = f(Un)

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Bonjour à toi,

J'ai une question à vous poser par rapport à un exercice sur les suites.

f(x) est la fonction définie sur [0 ; +infini[ par f(x) =

La suite U est définie par U0 = 0 et, pour tout entier naturel n, Un+1 = f(Un)

Je vous épargne les questions sur l'étude de la fonction sur [0 ; 3] que j'ai faite.

1) Démontrer que, pour tout entier naturel n, 0Un Un+1 2

2)a) Démontrer que, pour tout nombre entier naturel n, 0 2 - Un+1 (2-Un)
2)b) En déduire, en raisonnant par récurrence, que pour tout nombre entier naturel n : 0 2 - Un+1

Pour la 1) je pensais faire f(0)f(Un)f(Un+1) f(2) mais le problème c'est que la fonction est croissante sur [0;3] mais sur [0;+infini[ elle est croissante puis décroissante Donc je ne sais pas comment m'y prendre !

Pour la 2)a) et 2)b) c'est pareil, avec les inégalités de ce genre j'ai du mal.

Avez-vous des pistes ?

Bonne soirée :happy2:

[Joker62]

Bonsoir

Ta suite est toujours dans l'intervalle [0;2] à priori. Appliquer la fonction f dans ta récurrence ne doit pas poser de problème donc.

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Bonsoir

Ta suite est toujours dans l'intervalle [0;2] à priori. Appliquer la fonction f dans ta récurrence ne doit pas poser de problème donc.

Oui mais on demande pour tout n donc faut prendre la fonction sur [0;+infini[ non ?

[Joker62]

Re,

u_(n+1) = f(u_n) n'a rien à voir avec u_n = f(n)

Si tu te rappelles comment on trace les suites, tu dois voir que le comportement d'une suite récurrente n'est pas toujorus semblable au comportement de la fonction f.

Un rappel :

Les suites récurrentes du type u_(n+1) = f(u_n) se trace avec la technique de l'escalier ou de l'escargot
Les suites explicites se trace avec un nuage de point du type (n ; f(n)) comme pour les fonctions donc.

Ainsi, dans le cas des suites récurrentes, la fonction peut très bien s'envoler vers l'infini et la suite peut rester bloquée dans un intervalle.
Comme dans ton cas.

On t'informe que la suite u_n est toujours dans [0;2]. Trace la pour mieux comprendre.

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Oki merci j'ai réussi ;)

Pour les questions 2)a et 2)b) je ne sais pas !

On sait que Un+1<2 donc 0<2-Un+1 mais pour le reste de l'inégalité je ne sais pas comment le montrer.
J'ai essayé de faire (1/2)(2-Un) - (2-Un+1) et comparer avec 0 mais c'est trop compliqué :(

[Joker62]

Re,

Montre que

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C'est OK merci ;)

Pour la 2)b), je pars de l'hypothèse de récurrence ?

[Joker62]

Pour la 2)b) qui est fausse comme elle est écrite/

C'est 0 <= 2-u_n <= 1/2^(n-1) et non u_(n+1)

Récurrence et utiliser le dessus.