Question rapide

[Rebelle_]

Bonjour ! =)

J'ai une petite question :)

Je connais le théorème qui dit que si une suite converge elle est bornée.
Je me demandais si une suite bornée et non-périodique convergeait nécessairement ? En gros, est-ce que la "réciproque" (en ajoutant la non-périodicité) est vraie ?

Si non, je ne vois pas de contre-exemple...

Merci beaucoup :)

[fatal_error]

salut,

imagine une fonction bruit (genre du bruit quoi). Ben elle est pas périodique et peut etre bornée.
ou genre la suite de terme général
u_n = random(0,1)
qui pioche pour chaque terme un nombre au pif entre 0 et 1

[AL-kashi23]

Coucou =)

Pour aller un peu plus loin, va regarder du côté du théorème de Bolzano Weierstrass qui est la "réciproque" que tu cherches dans le sens où il donne un résultat de convergence pour les suites réelles bornées à condition qu'elles possèdent une valeur d'adhérence (c'est à dire qu'une suite extraite, par exemple les termes pairs, converge).

[Rebelle_]

Salut =)

Merci beaucoup pour vos précisions. C'est vrai, je n'avais pensé qu'aux cas classiques, ou disons plus exactement à ce que l'on a l'habitude de voir en cours et dans les exercices.

Al-kashi23, (ça me fait plaisir de te voir là :P), j'ai regardé ce dont tu parlais. Je pense que je saisis en gros l'idée, mais de là à savoir disserter dessus... Enfin merci quand même pour l'info ;)

[Sa Majesté]

Ou encore qui est bornée et non périodique mais non convergente

[Rebelle_]

J'y ai pensé justement mais je me suis trompée. En fait dans ma tête c'était la *fonction* cosinus (ou sinus, ou autre) et non la suite définie sur N... Mais maintenant c'est clair !

J'ai une autre question rapide sur les suites, je peux la poser ici ou dois-je ouvrir un nouveau fil ?

[Rebelle_]

Finalement je vais poster ma question ici :) J'espère que je ne fais pas mal !

Alors, je me demandais la chose suivante. Soit une suite (u_n) définie par récurrence sur N avec u_0 fixé. On a donc (u_n) de la forme u_{n+1} = ... u_n ...
Peut-on toujours étudier les variations (trouver la limite en fait) de u_n en étudiant les variations de la fonction f définie sur R+ telle que u_{n+1} = f(u_n) ?

J'ai essayé (ben oui quand même xD) de trouver la réponse et j'ai trouvé un truc qui semble répondre, c'est le point fixe.
J'ai vu un théorème qui disait : "Si f est continue et si (u_n) est une suite récurrente définie par :
{ u_0
{ u_{n+1} = f(u_n)
alors la limite éventuelle l est solution de l'équation f(x) = x."

Si je comprends bien ce théorème (que je ne sais pas démontrer :/), dans le cas que je donne plus haut, pour avoir la limite il me suffit de poser (correctement) la fonction f et de résoudre f(x) = x. Est-ce que cela marche tout le temps ?
Et le point fixe est le point d'intersection entre le graphe de f et la droite d'équation y = x.

Merci =)

[Arnaud-29-31]

J'ai l'impression que tu as bien compris :
Si une suite définie par récurrence admet une limite finie alors cette limite est un point fixe (un point tel que f(x) = x).
Si tu n'as qu'un seul point fixe et que tu as démontré que la suite était convergente (par exemple par une critère de majoration/minoration et de monotonie), alors sa limite est ce point fixe.

[gigamesh]

Salut,
l'étude de la fonction de récurrence f permet de conclure à la monotonie de lorsque les valeurs de la suite restent dans un intervalle où f est monotone !
sinon c'est le bazar (essaie le grand classique avec différentes valeurs de a et de u0)

quant au théorème du point fixe, il donne une condition nécessaire sur une éventuelle limite.

Il est très facile à démontrer :
si u converge vers un réel l et si f est continue,
alors en passant l'égalité à la limite, on obtient

[Rebelle_]

D'accord ! Merci :)

Puis-je faire cet affreux affront aux mathématiques : les suites récurrentes convergentes finissent "en escargot", alors que les suites "simples" (dans ma tête, de la forme u_n = ...n...) convergentes atteignent leur limite de manière habituelle c'est-à-dire en les effleurant ?
Je sais, c'est très moche et totalement non rigoureux mais bon... ^^

[Rebelle_]

Ah, merci pour vos dernières précisions !
En gros, le point fixe c'est le point à partir duquel les u_i vont s'accumuler quand n grandit, c'est bien ça ? Et ce dans le cas où (u_n) converge, bien sûr :P

[Arnaud-29-31]

Ca ne veut pas dire grand chose le point à partir duquel ...
C'est juste le point (quand il n'y en a qu'un) vers lequel convergera la suite si elle est convergente.

[Rebelle_]

D'accord, disons "autour duquel" :P
C'est mieux ? :)

[gigamesh]

D'accord ! Merci

Puis-je faire cet affreux affront aux mathématiques : les suites récurrentes convergentes finissent "en escargot", alors que les suites "simples" (dans ma tête, de la forme u_n = ...n...) convergentes atteignent leur limite de manière habituelle c'est-à-dire en les effleurant ?
Je sais, c'est très moche et totalement non rigoureux mais bon... ^^

Re-salut, vu que le seul truc qui nous intéresse vraiment est le sens de variation de f, tu peux faire un tour assez complet des diverses possibilités (escargot, escalier, convergence, divergence), en prenant les 4 cas de figure suivants :
*f(x)=2x-5
*f(x)=x/3+6
*f(x)=-0,8x +10
*f(x)= -1,1x+15
en prenant u_0=3, puis u_0=10

Pense à faire un dessin pour chaque fonction, et essaie de repérer ce qui fait que la suite converge ou diverge, est monotone ou pas.

bon là tu n'auras que des cas où la suite u prend ses valeurs dans un intervalle où la fonction de récurrence est monotone !