Question DM : Puissance d'un point par rapport à un cercle :

[Pythagore]

Bonjour à tous, voilà j'ai un DM à rendre pour après demain, j'ai réussi la majorité des questions sauf les deux dernières (enfin l'avant dernière je ne suis pas sûr). Voici l'énoncé en entier, je précise que je n'ai besoin d'aide que pour la question 4.b et la question 4.c :

"Soit C un cercle de centre O et de rayon R>0. Soit M un point du plan et D, une droite passant par M et qui coupe C en A et B.

1.a.Démontrer que vect(MA) scalaire vect(MB) = vect(MA) scalaire vect(MA') où A' est le point de C diamétralement opposé à A.

b. En déduire que vect(MA) scalaire vect(MB) = OM²-R².
Le nombre vect(MA) scalaire vect(MB) ne dépend donc que de M et pas de la droite D choisie. On l'appelle puissance du point M par rapport à C. Notons le pC(M).

2. Etudier le signe de pC(M) en fonction de la position du point M.

3. Lignes de niveau de pC(M) : soit k un réel fixé. Déterminer Ck, lieu des points M tels que pC(M) = k.

4. Avec deux cercles :

C' est un cercle de centre O' et de rayon R'>0.

On se propose de déterminer le lieu L des points ayant la même puissance par rapport à C et à C'.

a. Montrer que pC(M) = pC'(M) si et seulement si vect(IM) scalaire vect(IO) = (R'²-R²)/4 où I est le milieu de [OO'].

b. En déduire la nature de L.

c. On suppose que C et C' se coupent en A et B. Démontrer que A et B sont des points de L. En déduire L."

Voilà donc pour la 4.b j'ai mis que un triangle isocèle, mais bon j'hésite quoi...
Merci beaucoup et bonne journée.

[echevaux]

Bonjour

4. Avec deux cercles :

C' est un cercle de centre O' et de rayon R'>0.

On se propose de déterminer le lieu L des points ayant la même puissance par rapport à C et à C'.

a. Montrer que pC(M) = pC'(M) si et seulement si vect(IM) scalaire vect(IO) = (R'²-R²)/4 où I est le milieu de [OO'].

b. En déduire la nature de L.

Voilà donc pour la 4.b j'ai mis que un triangle isocèle, mais bon j'hésite quoi...
Merci beaucoup et bonne journée.

Tu as raison de douter : L est une droite. On l'appelle l'axe radical des deux cercles.

[Pythagore]

Alors c'est bon j'ai réussi pour la 4.b mais pour la 4.c je sèche toujours. S'il vous plaît un petit coup de main juste pour la démonstration de A et B...
Merci encore.

[echevaux]

L est le lieu des points ayant la même puissance par rapport à C et à C'.

Montrer que A est un point de L revient donc à montrer que pC(A) = pC'(A)

ce qui est pratiquement évident avec pC(M) = OM²-R².

Même travail avec B.