Question ouverte: probleme sur longueur dans un triangle

[Anonyme]

Bonjours à tous !
Voici le problème demandé:
"Soit ABC un triangle rectangle en A et P un point quelconque de l'hypothénuse. La droite passant par P coupe (AB) perpendiculairement en I.
La droite passant par P coupe (AC) perpendiculairement en J.
Où placer P pour que IJ soit minimal?"
La prof nous a laissé une piste nous disant que l'on pouvait résoudre le problème à l'aide de Thales et Pythagore ou encore avec une fonction.
Merci beaucoup pour vos aides !

[abcd22]

La droite passant par P coupe (AB) perpendiculairement en I.
La droite passant par P coupe (AC) perpendiculairement en J.

AIPJ est donc un rectangle, donc IJ = AP et tu dois savoir minimiser la distance d'un point à une droite... Pas de fonction ni de Thalès ni Pythagore là-dedans aussi.

[Anonyme]

ahh ouii je vois un peu, mais par contre je n'ai jamais su comment minimiser un point a une droite, du moins je ne crois pas... Peut tu m'apporter plus amples informations. j'avais commencé avec tous plein de thales et c'est vraiment la cata ! Donc vraiment, si tu peux m'aider sur ce point là, je t'en serai très reconnaissant ! merci à toi

[abcd22]

La distance AP est minimale si P est le projeté orthogonal de A sur (BC) (autrement dit (AH) est la hauteur issue de A). Si vous ne l'avez pas vu, on peut le montrer avec Pythagore par exemple (H projeté orthogonal, P un autre point de la droite, montrer que AP > AP).