Question lois

[Stéphanie123]

Bonjour
Je viens de terminer cet exercice mais je ne suis pas certaine de mes réponses pouvez-vous m'aider ?
Merci

Une société de matériel informatique se fournit auprès d’une usine de composants électroniques. La probabilité que l’un de ces composants présente un défaut est de 0,02.

On admet que le nombre de composants achetés dans l’usine soit suffisamment important pour que l’achat de 50 composants soit assimilé à 50 tirages indépendants avec remise.
On appelle X la variable aléatoire associée au nombre de composants défectueux dans ce lot.

1.Quel type de loi suit la variable aléatoire X ? Préciser ses paramètres.
x\rightarrow B (50;0.02)

2.Quelle est la probabilité qu’exactement 2 des composants achetés soient défectueux ?
On cherche P (x=2)=(50) x0.02² x (1-0.02)48
2
≈ 0.19

3.Quelle est la probabilité qu’au moins un des composants achetés soit défectueux ?
On cherche P(x≥1) ≈ 0.37

4.Sur chaque lot de 50 composant achetés, quel est le nombre moyen de composants
défectueux ?
On cherche E=nxp
= 50 x 0.02
=1

Le nombre moyen de composant défectueux est 1

5.La société commande à présent un lot de 500 composants.
Elle compte 15 composants défectueux dans ce lot. En utilisant un intervalle de fluctuation au seuil de 95%, dire si la proportion de 0,02 de composants défectueux annoncée par l’usine est fiable.

Intervalle de fluctuation
15 = 0.03
500

[0.03-196x√0.03(1-0.03) ; 0.03+1.96 x √0.03(1-0.03) ]
500 500

= [0.015;0.045]

La proportion de 0.02 composants défectueux annoncé par l'usine n'est pas fiable

J'ai un peu galéré pour mettre les fractions et autres signes car l'éditeur d'équation n'insère pas les formules... je ne sais pas pourquoi

Je vous remercie pour votre compréhension

[hdci]

Bonjour,

J'ai inséré les balises TEX pour plus de lisibilité

1.Quel type de loi suit la variable aléatoire X ? Préciser ses paramètres.

C'est cela, attention dans l'énoncé la variable aléatoire est , pas
En principe il faut également justifier : c'est une loi binomiale car on compte le nombre de succès dans 50 répétitions identiques et indépendantes ("avec remise") d'une épreuve de Bernoulli. Le succès est ici "composant défectueux".

2.Quelle est la probabilité qu’exactement 2 des composants achetés soient défectueux ?
On cherche

C'est cela

3.Quelle est la probabilité qu’au moins un des composants achetés soit défectueux ?
On cherche P(x≥1) ≈ 0.37

En fait
Ici, donc

4.Sur chaque lot de 50 composant achetés, quel est le nombre moyen de composants
défectueux ?
On cherche

Le nombre moyen de composant défectueux est 1

Exact

5.La société commande à présent un lot de 500 composants.
Elle compte 15 composants défectueux dans ce lot. En utilisant un intervalle de fluctuation au seuil de 95%, dire si la proportion de 0,02 de composants défectueux annoncée par l’usine est fiable.

Intervalle de fluctuation
\dfrac{15}{500} = 0.03



La proportion de 0.02 composants défectueux annoncé par l'usine n'est pas fiable

Pourquoi n epas utiliser la technique propre à la loi binomiale : chercher le premier rang tel que puis le premier rang tel que ?

On trouve et , l'intervalle est alors

Par contre l'interprétation que vous faites est erronée : avec votre résultat, on a , on est donc bien dans l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%

[hdci]

Par ailleurs, la formule que vous utilisez dans l'intervalle de fluctuation n'est pas la bonne : on cherche l'intervalle de fluctuation, connaissant la probabilité 0,02, et non l'intervalle de confiance connaissant la fréquence 0,03.

Avec l'approximation par la loi normale d'espérance et d'écart-type , l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% est


Ici, on a et comme on a

et cela donne l'intervalle de fluctuation qui est très proche de l'intervalle trouvé avec la loi binomiale

Remarque : si on ne connaissait pas , alors on utiliserait bien dans la formule pour trouver l'intervalle dans lequel a 95% de chance de se trouver (c'est l'intervalle de confiance, pas de fluctuation) : on trouverait alors l'intervalle que vous avez écrit : a 95% de chance d'être dans