Question etrange

[Kah]

Salut a tous et a toutes!

J'ai un petit probleme fort sympathique:
On prends 7 reels quelconque, mais tous inegaux entre eux.
Il s'agit de montrer que parmi ces réels, il y en a au moins deux (apellons les p et q) tels que 0Avec V3=racine carrée de 3.
Sa me parait vraiment étrange comme resultat, mais je ne trouve aucune piste, ni contre exemple.
Des idées?

[aeon]

Ca c'est bizarre,

si je prends
-0,17
-0,16
-0,15
-0,14
-0,13
-0,12
-0,11

Pour aucun p, q dans cette liste, j'ai 0 <= (p+q)/(1+pq)

Tu es sûr de ton énoncé ?

[Kah]

Effectivement, je me suis planté: c'est (p-q)/(1+pq)

[aeon]

Ah bah ça change tout.

Sur 7 nombres, il y en a forcément
- soit au moins 2 qui sont >= 0
- soit au moins 2 qui sont < 0

J'appelle p et q ces deux nombres, de façon à ce que p>q

On en déduit...

[Kah]

Ok c'est bon pour demontrer la "positivité" du truc.
Par contre pour V3/3...

[Kah]

Pas d'idees?

[Kah]

Toujours pas?

[Kah]

J'ai l'impression de ne pas être le seul que ce problème chatouille!

[Zweig]

Salut,

Tout d'abord remarquons que est de la même forme que . Ton exercice n'est, en fait, qu'une conséquence du principe des tiroirs : il suffit de montrer que parmi 7 réels il en existe toujours deux et tels que , on compose avec la fonction et c'est fini ...

Je te laisse voir comment.

[Kah]

Wha, pour le truc de la tangente, il fallait quand même le trouver :ptdr:
Ok c'est bon pour la forme de tan (p-q).
Par contre, je ne vois pas trop comment proceder pour montrer la suite...

[Zweig]

D'abord, connais-tu le principe des tiroirs ? Si non, on est mal barré :we:

Pour tout réel choisi, il existe un unique réel tel que . On partitionne cet intervalle en 6 intervalles égaux , ,...,. On dispose alors de 7 réels , , répartis dans 6 intervalles. D'après le principe des tiroirs, il existe deux réels et situés dans le même intervalle tels que et par construction de ces intervalles,

Par composition de la fonction , on trouve le résultat désiré.

[nodgim]

Pour se convaincre qu'il faut bien 7 nombres, voici un ensemble de 6 nombres contre-exemple:
-1000
-1.7
-0.56
+0.013
+0.59
+1.8

Sinon, Zweig a tout dit. Tu peux aussi considérer la fonction f(x)=(x-a)/(1+ax) et en étudier le sens de variation.
Enfin, en posant a=0, tu pourras chercher le x maxi pour que f(x)

[Kah]

Ok, merci des réponses.
Non, je ne connais pas le principe des tiroirs.
Il n'y aurai pas un moyen sans?
Vraiment tordu cet exo...

[Zweig]

Bah, le principe des tiroirs est assez intuitif ... Si je dispose de 5 objets et de 4 tiroirs, alors au moins un tiroir contiendra au moins 2 objets. Plus généralement, si je dispose de objets et de tiroirs, alors au moins un tiroir contiendra au moins 2 objets.

Dans notre exercice, les tiroirs sont nos intervalles et les objets les réels .

[Timothé Lefebvre]

Tiens, un peu de doc sur le principe de tiroirs, [url="http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./t/tiroirs.html"]ici[/url].

[Kah]

Ah ok c'est effectivement simple comme principe (par contre, pour démontrer quelque chose d'aussi intuitif :ptdr: )
Bon je pense que mon prof ne fera pas la fine bouche au niveau du nom.
merci beaucoup en tout cas.

[Zweig]

J'adore ce principe, il permet de démontrer des choses parfois assez "ahurissantes", par exemple :

On choisit 5 points arbitraires sur le réseau entier du plan*. Montrer que parmi ces 5 points, il en existe toujours 2 tels que le segment les joignant passe par un autre point de ce réseau.

* le réseau entier du plan étant l'ensemble des points à coordonnées entières.