Question d'arithmethiques

[zerow2001]

On a pgcd(a,b) = 1
montrez que : = 1

mon papier :
on pose T = pgcd de a^2+ab+b^2 et a^2 + b ^2
alors T divise a^2+ab+b^2 et T divise a^2+ab+b^2
alors : et
alors :
alors : T divise a ou bien T divise b
je crois qu'on peux conclure que T divise pgcd(a,b) alors T divise 1 alors T = 1

aidez moi svp

[Rdvn]

Bonjour ,
Vos lignes de fin sont à revoir : supposons a=4 et b=9 , on a bien pgcd(a,b)=1.
Puis a.b = 36, ainsi 6 divise a.b mais ne divise ni a ni b .
Un plan de travail (peut être pas la solution la plus « élégante » … ?).
Pour toute la suite : a,b,m,n, etc sont des entiers naturels non nuls.
Propriété : pour q entier , pgcd (m,n) = pgcd (m-q.n , n) ,
il vient pgcd(a^2+a.b+b^2 , a^2+b^2)= pgcd(a.b , a^2+b^2).
Pour éviter un raisonnement par l’absurde distinguons plusieurs cas :
-) si a=1, pgcd(b,1+b^2) = pgcd(1+b^2-b.b , b) = pgcd(1,b)=1
-) si b=1, même raisonnement
-) désormais : a>1, b>1 . Soit p un entier premier divisant a.b , alors p divise a ou b
(conséquence du théorème de Gauss) mais pas les deux (car pgcd(a,b) = 1 par hypothèse), à conclure …
Bon courage

[cassiopella]

On peut faire la division euclidien, pour démontrer qu'ils sont premiers entre eux.

[aymanemaysae]

Bonjour;

Soit PGCD(a² + b² + ab ; a² + b²) = d ; donc d divise a² + b² + ab et a² + b² .

Supposons d 1 ; donc il existe p un nombre premier tel que p divise d ;

donc p divise a² + b² + ab et a² + b² ; donc divise a² + b² + ab - a² - b² = ab ;

donc p divise a ou p divise b .


Si p divise a alors a divise a² ; donc p divise a² et a² + b² ; donc p divise a² + b² - a² = b² ;

donc p divise b ; donc p divise b et a ; donc p divise PGCD(a ; b) = 1 ; ce qui est absurde .


De même si p divise b .


Conclusion : d = 1 .

[chan79]

p divise a² + b² - a² = b² ;

donc p divise b

Salut
4 divise 6² mais 4 ne divise pas 6

[chan79]

On peut conclure avec:

Si deux nombres a et b sont premiers entre eux, leurs carrés a² et b² le sont aussi.

[aymanemaysae]

Bonjour;

Merci Chan79 pour la remarque , mais le p dont je parle est un nombre premier , donc mon assertion est vraie , je suppose .

[chan79]

Bonjour;
le p dont je parle est un nombre premier , donc mon assertion est vraie , je suppose .

oui, on le vérifie avec les décompositions en facteurs premiers

[zerow2001]

J'ai pas bien compris vos réponse

[zerow2001]

On peut faire la division euclidien, pour démontrer qu'ils sont premiers entre eux.

Svp aide moi avec cette methode

[Rdvn]

Bonjour ,
Je reprend et détaille ma première réponse, j'espère que cela ira mieux ainsi
Notez que la propriété évoquée au début n'est pas plus compliquée que la division euclidienne.
La démonstration de cette propriété est d'ailleurs tout à fait analogue à celle à celle employée
pour justifier l'algorithme d'Euclide.

Faute de typographie adéquate lire : A # B [p] comme A n'est pas congru à B modulo p.
Pour toute la suite : a,b,m,n, etc sont des entiers naturels non nuls.

Propriété : pour q entier , pgcd (m,n) = pgcd (m-q.n , n) .
Il vient pgcd(a^2+a.b+b^2 , a^2+b^2)= pgcd(a.b , a^2+b^2) (on prend m= a^2+a.b+b^2,
n= a^2+b^2 et q=1).
Il suffira donc de montrer pgcd(a.b , a^2+b^2)=1.

Pour éviter un raisonnement par l’absurde distinguons plusieurs cas :
1) si a=1, pgcd(b,1+b^2) = pgcd(1+b^2,b)=pgcd(1+b^2-b.b , b) (on prend m=1+b^2, n=b et q=b)
donc pgcd(b,1+b^2) = pgcd(1,b)=1
2) si b=1, même raisonnement.
3) si a>1 et b>1 . Soit p un entier premier divisant a.b , alors p divise a ou b (conséquence du théorème de Gauss) mais p ne divise pas a et b (car pgcd(a,b) = 1, par hypothèse).
Supposons que p divise a, donc p ne divise pas b.
Alors, p étant premier, p ne divise pas non plus b^2.
Nous avons donc a^2+b^2=0+b^2 = b^2 [p] donc a^2+b^2#0 [p] , p ne divise pas a^2+b^2.
Si on suppose, à l'inverse, que p divise b, donc que p ne divise pas a, on a un raisonnement analogue.
Donc aucun entier premier ne divise a.b et a^2+b^2, et donc pgcd(a.b , a^2+b^2)=1.

Conclusion : dans chacun des trois cas pgcd(a.b , a^2+b^2)=1, et chaque couple (a,b) tel que pgcd(a,b)=1 peut être rangé dans un de ces trois cas, la propriété est démontrée.

[Rdvn]

Version améliorée de la fin (je n'ai pas réussi à modifier mon premier message)


Pour éviter un raisonnement par l’absurde distinguons deux cas :
1) si a=1 et b=1, alors a.b=1 donc pgcd(a.b , a^2+b^2)=1
2) si a>1 ou b>1 alors a.b>1. Soit p un entier premier divisant a.b , alors p divise a ou b (conséquence du théorème de Gauss) mais p ne divise pas a et b (car pgcd(a,b) = 1, par hypothèse).
Supposons que p divise a, donc p ne divise pas b.
Alors, p étant premier, p ne divise pas non plus b^2, ainsi b^2#0 [p] .
Nous avons a^2+b^2=0+b^2 = b^2 [p] , donc a^2+b^2#0 [p] , p ne divise pas a^2+b^2.
Même raisonnement si on suppose, à l'inverse, que p divise b, donc que p ne divise pas a.
Aucun entier premier ne divise a.b et a^2+b^2, et donc pgcd(a.b , a^2+b^2)=1.

Conclusion : dans chacun des deux cas pgcd(a.b , a^2+b^2)=1, et chaque couple (a,b) tel que pgcd(a,b)=1 peut être rangé dans un de ces deux cas, la propriété est démontrée.