Quelques lacunes pour mon DM de maths...

[Aelawen]

Bonjour à tou(te)s !

Je suis en Terminale S, et j'ai un DM assez théorique sur les fonctions exponentielle et logarithme népérien.
Je comprend la majeure partie des questions et où notre professeur veut en venir, mais je ne sais pas du tout comment rédiger/démontrer... :triste:

Voilà les questions (j'ai tenté de faire quelque chose de propre avec les balises TEX, dîtes-moi si vous ne comprenez pas quelquechose) :

Partie A :
L'objet de cette partie est l'étude de la fonction f définie sur par : .
1) On considère la fonction j définie sur [0;+inf[ par .
a) Déterminer la dérivée j' de la fonction j.

Bon, je vous épargne mes lignes de calcul, en gros j'ai trouvé .

b) Donner le sens de variation de j, puis le signe de j.

C'est ici que je coince niveau rédaction...
Pour le sens de variation, facile, la dérivée est toujours négative donc la fonction strictement décroissante.
Mais pour le signe, on voit bien que la courbe de la fonction est comprise entre l'ordonnée y=1 et y=0, donc deux asymptotes horizontales...
Comment dois-je rédiger cela ? Tableau de variation ?
J'ai essayé de calculé les limites en l'infini, mais je tombe sur des formes indéterminées du style, pour moins l'infini (très mauvaise rédaction mais c'est juste pour vous montrer explicitement) : . :doh:
Comme j'aime bien calculer jusqu'au bout, pour la première F.I. j'ai factorisé, pas de problème, mais pour la seconde ln(-inf) ça n'existe pas ?!
Bref, je suis bien paumé...

2) Soit f' la dérivée de la fonction f.
a) Montrer que, pour tout réel x, f'(x) = .

Pour ça, pas de problème c'est une dérivée du type u'v + uv' avec et .

b) En utilisant le 1), étudier le sens de variation de la fonction f.

Et rebelote, comment rédiger cela ? J'ai remarqué que la fonction j(t) était identique à la parenthèse de la dérivée f'(x), et qu'il y a juste en facteur, mais comment faire pour interprêter cela ?

3) Fin de l'étude de la fonction f.
a) Montrer que pour tout réel x, . En déduire les limites de f(x) lorsque x tend vers plus l'infini et moins l'infini.

Alors là, je n'arrive même pas à trouver le rapport avec cette expression de f(x) et la précédente... D'où sort le ? :doh:


Voilà pour la partie A...
J'espère que quelques personnes pourront m'éclairer un peu, parce que j'ai vraiment du mal...

Merci d'avance. :we:

[Aelawen]

Up s'il vous plaît ! :euh:

[Ericovitchi]

b) Donner le sens de variation de j, puis le signe de j.

Attention la dérivée n'est pas négative quand t est entre -1 et 1

Donc la fonction est croissante entre -1 et zéro, atteint son maximum en zéro puis décroit
Effectivement il faut rédiger ça en faisant un tableau de variations.
La forme n'est pas indéterminée quand t tends vers l'infini car tends vers 1 donc il suffit de connaître les limites du -ln (1+t) qui est - l'infini

on voit bien que la courbe de la fonction est comprise entre l'ordonnée y=1 et y=0, donc deux asymptotes horizontales...

Ca non pas du tout. la limite étant - l'infini ça ne risque pas.

2)J

'ai remarqué que la fonction j(t) était identique à la parenthèse de la dérivée f'(x), et qu'il y a juste e^{-x} en facteur, mais comment faire pour interprêter cela ?

Effectivement, le est toujours positive donc il ne va pas influer sur le signe de la dérivée. f' est donc du signe de j et justement tu viens d'étudier le signe de j donc tu vas connaitre le signe de f'

3) pour passer de f(x) = à l'autre expression écris puis utilises ln (ab)=lna+lnb etc...

[Aelawen]

Salut Ericovitchi,

En effet j'me suis bien planté dans la représentation graphique que je m'étais faite de la fonction, du coup la plupart de ce que j'ai gribouillé est faux...

Merci d'avoir jeté un oeil, je vais regarder cela de plus prêt.

EDIT :

La dérivée n'est pas négative quand t est entre -1 et 1

On parle bien de la dérivée j'(t) ? Parce que j'ai vérifié plusieurs fois avec le tableur de ma calculatrice et je n'obtiens pas pareil que toi : j'ai j'(t) positive de -inf à 0, puis négative à partir de 0... :hum: Je comprend rien à cette fonction... lol