Quel est le lieu des points X

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yodabosten
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Quel est le lieu des points X

par yodabosten » 09 Mai 2022, 21:19

Coucou, j'ai un dernier exercice pour lequel je ne sais pas quoi faire.

Soit C un cercle de centre O et E un point du cercle. Quel est le lieu des points X tels que vect(AX) = ||vect(AE)||^2 . vect(OE), lorsque A parcourt C?
(||vect(AE)||^2 est le longueur de vect(AE))

Mon approche :

E (x_E ; y_E) est un point du cercle
A (α ; β) parcourt le cercle
X (x ; y) est un point quelconque de sorte que la condition mentionnée ci-dessus est remplie.

A appartient au cercle si α^2 + β = r^2
vect(OE) = (x_E ; y_E)
vect(AE) = (x_E - α ; y_E - β)
||vect(AE)||^2 = (x_E - α)^2 + (y_E - β)^2
vect(AX) = (x-α ; y - β)

Alors (x-α ; y - β) = ((x_E - α)^2 + (y_E - β)^2) * (x_E ; y_E)

Je n'arrive pas à résoudre ce système. L'autre possibilité serait d'isoler β et de l'utiliser dans α^2 + β = r^2, mais cela ne fonctionne pas non plus.

(α et β ne sont pas des angles, mais des paramètres)



catamat
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Re: Quel est le lieu des points X

par catamat » 10 Mai 2022, 11:04

Bonjour

Le repère n'étant pas imposé on peut le choisir pour se faciliter les calculs.
Ok prenons O le centre du cercle comme origine et comme vecteur unité de l'axe des abscisses.
On a alors E(1,0) et R=1
Soit A(a,b) sur le cercle et X (x,y), on a en particulier a²+b²=1


enfin
D'où les égalités :
x-a=2-2a ou x-2=-a
y-b=0 ou y=b
Donc
(x-2)²+y²=a²+b²=1 (équation du cercle décrit par X..)

mathafou
Membre Relatif
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Re: Quel est le lieu des points X

par mathafou » 11 Mai 2022, 09:56

Bonjour,

personne n'a remarqué que c'était faux ?
à cause du carré d'une distance, on ne peut pas choisir une unité arbitraire et dire que le rayon vaut 1
il faut absolument garder un paramètre R pour le rayon.
sauf si l'énoncé dit que ce rayon vaut 1, en général le résultat est une ellipse.
(mêmes calculs mais avec (R, 0) pour le point E, a²+b² = R² etc)

Black Jack
Habitué(e)
Messages: 5369
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Re: Quel est le lieu des points X

par Black Jack » 11 Mai 2022, 11:03

catamat a écrit:Bonjour

Le repère n'étant pas imposé on peut le choisir pour se faciliter les calculs.
Ok prenons O le centre du cercle comme origine et comme vecteur unité de l'axe des abscisses.
On a alors E(1,0) et R=1
Soit A(a,b) sur le cercle et X (x,y), on a en particulier a²+b²=1


enfin
D'où les égalités :
x-a=2-2a ou x-2=-a
y-b=0 ou y=b
Donc
(x-2)²+y²=a²+b²=1 (équation du cercle décrit par X..)


Bonjour,

Choisir un repère orhonormé tel que O soit l'origine du repère et E situé sur l'abscisses du repère.

On a alors : x_E = R et y_E = 0

Ton équation devient alors :

(x-α ; y - β) = ((R- α)^2 + (0 - β)^2) * (R ; 0)

x - α = R * [(R - α)^2 + β^2]
y - β = 0

Avec α² + β² = R²

x = α + R * [(R - α)^2 + R^2 - α²]
y² = β² = R²- α²

x = α + R * (R² + α² - 2Rα + R^2 - α²)
x = α + R * (2R² - 2R²α)
x = α + 2R³ - 2R²α
α = (x - 2R³)/(1-2R²)

--> y² = R² - [(x - 2R³)/(1-2R²)]²

y² = R² - (x - 2R³)²/(1-2R²)²

y² + (x - 2R³)²/(1-2R²)² = R²

y²/R² + (x - 2R³)²/((1-2R²)*R)² = 1

... qui est l'équation d'une ellipse de centre (2R³ ; 0), de grand axe (sur l'axe des abscisse) égal à |2.(1-2R²)*R| et de petit axe (// à l'axe des ordonnées) égal à 2R

Dans le cas particulier où R = 1, on a : (x - 2)² + y² = 1 qui est le cercle de centre (2 ; 0) et de rayon 1

8-)

mathafou
Membre Relatif
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Re: Quel est le lieu des points X

par mathafou » 11 Mai 2022, 11:34

petite précision : le "petit axe" peut parfaitement être plus grand que le "grand axe" selon la valeur de R ...

yodabosten
Membre Naturel
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Re: Quel est le lieu des points X

par yodabosten » 11 Mai 2022, 11:36

mathafou a écrit:Bonjour,

personne n'a remarqué que c'était faux ?
à cause du carré d'une distance, on ne peut pas choisir une unité arbitraire et dire que le rayon vaut 1
il faut absolument garder un paramètre R pour le rayon.
sauf si l'énoncé dit que ce rayon vaut 1, en général le résultat est une ellipse.
(mêmes calculs mais avec (R, 0) pour le point E, a²+b² = R² etc)


Parce que c'est la méthode de translation, sa variante est correcte mais très spécifique. Si l'on conserve le R, la solution est plus générale.

mathafou
Membre Relatif
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Re: Quel est le lieu des points X

par mathafou » 11 Mai 2022, 11:49

je persiste
quand on calcule la mesure de AX, si on double les mesures de distances par simple changement d'échelle, cette distance là est multipliée par 8 ( AE est doublé, AE² est donc multiplié par 4 et le produit par OE multiplié par 8) et pas doublée.
la méthode de prétendre R=1 ne peut simplement pas marcher
elle ne marcherait que si en doublant les distances OE et AE, la distance AX était elle aussi simplement doublée

R=1 ne peut être accepté que si elle est imposée dans l'énoncé, ce qui n'est pas le cas ici ("un cercle")

 

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