QCM probabilités

[Ruch]

Bonjour à tous.

On place au hasard 4 albums photos dans trois tiroirs numérotés 1,2 et 3. Les probabilités sont données à 10^(-2) près.

1 Le nombre de façons de ranger ces albums est:
a) 5 b) 81 c) 64 d) 24
2- La probabilité que le tiroir numéro 3 soit vide est:
a) 0.50 b) 0.25 c) 0.66 d) 0.20
3- La probabilité qu'exactement un tiroir soit vide est:
a) 0.60 b) 0.01 c) 0.06 d) 0.125
4- La probabilité qu'au moins un tiroir soit vide est:
a) 0.63 b) 0.77 c) 0.41 d) 0.20

Je veux juste une vérification: j'ai répondu: 1b) 2d) 3a) 4a)

Merci à vous et bonne journée.

[le_fabien]

Pour moi c'est bon .

[Huppasacee]

Je pense que la 4 est à revoir

[Ruch]

Alors pour la 4, j'ai procédé de cette manière:

Au moins un tiroir est vide = exactement 1 tiroir vide ou 2 tiroirs vides ou 3 tiroirs vides.

- 1 tiroir vide : voir 3a) : p1= 48/81 = 0.60
- 2 tiroirs vides: il y a 3 possibilités. Donc p2 = 3/81
- 3 tiroirs vides: évènement impossible (on place au hasard 4 albums dans trois tiroirs, on est sûr en tout cas que l'on a placé les albums). p3=0

D'où p = p1 + p2 + p3 = 51/81= 0.637= 0.64

D'où l'idée qu'il se peut que j'ai fait une petite erreur, vu que le résultat 0.64 n'est pas présent.

Je crois que j'ai fait une erreur quelque part dans le raisonnement, mais je ne sais pas où.

Ca doit être soit 0.63, soit 0.77 (si on s'est pas trompé dans la question 3)

Merci à vous 2 (les fidèles :++: )

[Huppasacee]

Exactement 1 tiroir vide

Supposons que ce soit le premier

tiroir 2 : 1 album 4 possibilités
tiroir 2: 2 albums (2 parmi 4 possibilités) donc 6
tiroir 2 : 3 albums 4 possibilités
Donc card (seul tiroir 1 vide ) =14
(avec "tiroir 2 vide aussi" et "tiroir 3 vide aussi", cela fait 16 )

Ceci à multiplier par 3 , donc 42 car les événements tiroir x seul vide sont incompatibles
donc card (" 1 seul tiroir vide") = 42 et non 48 selon moi

[Ruch]

Je ne pense pas que ton raisonnement soit correct, il ne faut pas réfléchir avec les combinaison sur cet exercice (je n'en ai pas eu besoin, et je n'ai pas eu pour autant recours à des méthodes bourrins).

- D'abord, remarque que ta réponse finale, 42/81 = 0.52 n'est pas dans les propositions faites pour le QCM. Donc, c'est à priori faux.
- De plus, tu donnes aussi la probabilité pour qu'un tiroir x soit vide: ta réponse ne figure pas non plus dans les différents choix du QCM.

Moi j'ai raisonné avec des cases. Pour mieux voir les cases, essaie de faire un arbre (avec 3 choix: 1,2 et 3). Tu fais 4 cases, qui correspondent aux 4 albums, avec 3 possibilité à chaque fois (car 3 tiroirs).
Ca te donne: 3*3*3*3 = 3^4= 81.

Pour l'évènement : - tiroir numéro 3 vide: chaque album a le choix seulement entre 2 tiroirs, donc avec les cases : 2*2*2*2 = 16.
- un tiroir exactement vide = tiroir 1 vide ou 2 vide ou 3 vide (seulement à chaque fois) = 48

Pour la question 4), il y a une propostion qui est 0.63, mais moi je trouve 0.637, donc ils devraient mettre 0.64.

[le_fabien]

Alors pour la 4, j'ai procédé de cette manière:

Au moins un tiroir est vide = exactement 1 tiroir vide ou 2 tiroirs vides ou 3 tiroirs vides.

- 1 tiroir vide : voir 3a) : p1= 48/81 = 0.60
- 2 tiroirs vides: il y a 3 possibilités. Donc p2 = 3/81
- 3 tiroirs vides: évènement impossible (on place au hasard 4 albums dans trois tiroirs, on est sûr en tout cas que l'on a placé les albums). p3=0

D'où p = p1 + p2 + p3 = 51/81= 0.637= 0.64

D'où l'idée qu'il se peut que j'ai fait une petite erreur, vu que le résultat 0.64 n'est pas présent.

Je crois que j'ai fait une erreur quelque part dans le raisonnement, mais je ne sais pas où.

Ca doit être soit 0.63, soit 0.77 (si on s'est pas trompé dans la question 3)

Merci à vous 2 (les fidèles :++: )

Moi je suis toujours d'accord avec ton raisonnement.

[Sa Majesté]

Moi j'ai raisonné avec des cases. Pour mieux voir les cases, essaie de faire un arbre (avec 3 choix: 1,2 et 3). Tu fais 4 cases, qui correspondent aux 4 albums, avec 3 possibilité à chaque fois (car 3 tiroirs).
Ca te donne: 3*3*3*3 = 3^4= 81.

D'accord

Pour l'évènement : - seul tiroir numéro 3 exactement vide: chaque album a le choix seulement entre 2 tiroirs, donc avec les cases : 2*2*2*2 = 16.

Pas d'accord
En effet 2*2*2*2 contient le cas où tous les albums sont dans le tiroir numéro 1 (donc tiroir 2 vide) et le cas où tous les albums sont dans le tiroir numéro 2 (donc tiroir 1 vide)
Or tu cherches "seul tiroir numéro 3 exactement vide"
Tu comptabilises 2 cas en trop

- un tiroir exactement vide = tiroir 1 vide ou 2 vide ou 3 vide (seulement à chaque fois) = 48

Pas d'accord
Cf point précédent
En clair je suis d'accord avec Huppasacee (mais la majorité n'a pas toujours raison ! :happy2: )

[Ruch]

Cependant, si on travaille avec l'évènement contraire "aucun tiroir n'est vide".

Partons vers la méthode bourrin pour toutes les possibilités commençant par 1 (elles se retrouveront dans les possibilités commençant par 2 et 3 car l'ordre des albums n'intervient pas).

1123 signifie par exemple que le 1er album va dans le tiroir 1, le 2éme dans le tiroir 1, le 3éme dans le tiroir 2 et le 4éme dans le 3...
C'est la même chose que: 2113.

Le problème, c'est que je ne vois pas comment on pourrait se passer de la méthode bourrin, car on est présence d'un cas où l'ordre ne compte pas (combinaison) mais où un même élément peut-être répété (on peut pas utiliser les combinaisons donc).

Si quelqu'un est fort dans le bourrinage (parce que moi, je suis totalement nul), qu'il étudie cet évènement. Normalement, on devrait trouver 30 possibilités si notre réponse est juste. (ce qui ne me parait pas possible)

[Sa Majesté]

Non il y en 36 et je le prouve !
1123
1132
1213
1223
1231
1232
1233
1312
1321
1322
1323
1332
soit 12 cas (ceux qui commencent par 1) à multiplier par 3 = 36
et 81-36=45
On devient chèvre avec ces trucs ! :marteau:

[le_fabien]

:we: Ruch je suis avec toi , je te soutiens , tu as totalement le bon raisonnement car c'est le plus simple.

[Sa Majesté]

N'oublie surtout pas de nous donner la solution quand tu l'auras !! :happy2:

[Ruch]

Bon, je dois y aller là, j'ai contrôle demain, mais vite en vrac:

- L'ordre des albums est-il important? (je pense que oui?)
- Il y a certainement une erreur dans votre raisonnement: aucun de vos résultats ne correspond aux choix proposés par le QCM (que j'ai pris soin de revérifier)

Sur ce, à demain soir certainement et merci encore .

[Huppasacee]

Non il y en 36 et je le prouve !
1123
1132
1213
1223
1231
1232
1233
1312
1321
1322
1323
1332
soit 12 cas (ceux qui commencent par 1) à multiplier par 3 = 36
et 81-36=45
On devient chèvre avec ces trucs ! :marteau:

Voici pourquoi le cardinal d'au moins un tiroir vide est de 45
et que card (2tiroirs vides )est 3 (2 parmi 3 )

Autre manière de trouver le nombre d'événements "aucun tiroir vide " :

forcément 1 tiroir aura 2 albums ; son contenu a 6 possibilités (2 parmi 4) et les 2 autres albums seront dans les autres tiroirs (2 combinaisons )
Donc 12 possibilités à multiplier par 3 , soit 36

De plus, la première question concernant le nombre de possibilités pour qu'un tiroir donné ( le 3) donnait un résultat de 16. Parmi ces 16 possibilités, il y a celle où le 2 est aussi vide, et celle où le 1 aussi est vide.
Il y a donc 14 possibilités pour que lui seul le soit.
Le 0,6 pour la question 3 me parait inexact, car ce serait 3*0,2. on ne tient pas compte de card ( (a inter b) union( b inter c) union( c inter a) ) qui est de 3

[Huppasacee]

Bon, je dois y aller là, j'ai contrôle demain, mais vite en vrac:

- L'ordre des albums est-il important? (je pense que oui?)
- Il y a certainement une erreur dans votre raisonnement: aucun de vos résultats ne correspond aux choix proposés par le QCM (que j'ai pris soin de revérifier)

Sur ce, à demain soir certainement et merci encore .

L'ordre est important, puisqu'à la fin il faut diviser par 81

[le_fabien]

N'oublie surtout pas de nous donner la solution quand tu l'auras !! :happy2:

La probabilité qu'au moins un tiroir soit vide est égale à la probabilité que 1 tiroir soit vide ou 2 tiroir soit vide
Ces deux évènements sont incompatibles alors on peut calculer les probabilité à part puis les ajouter.
1) P(1 tiroir est vide)=48/81 (j'ai fais un arbre et j'ai compté)
2) P(2 tiroirs sont vides)=(3*1*1*1)/81 (3 choix pour le premier album puis pour les trois autre le tiroir est donc imposé)
Pour finir P(au moins 1 tiroir est vide)=51/81=0,629...=0,63

[Sa Majesté]

Je parlais à Ruch :happy2:
Quand il aura la réponse à son exo, qu'il nous la donne pour clore le débat

La probabilité qu'au moins un tiroir soit vide est égale à la probabilité que 1 tiroir soit vide ou 2 tiroir soit vide

D'accord

Ces deux évènements sont incompatibles alors on peut calculer les probabilité à part puis les ajouter.

D'accord

1) P(1 tiroir est vide)=48/81 (j'ai fais un arbre et j'ai compté)

J'ai fait aussi un arbre et je trouve 42 cas (on parle bien de "exactement 1 tiroir vide")
Je trouve 16 cas où le tiroir 1 est vide dont 1 où le tiroir 2 est vide et 1 où le tiroir 3 est vide, donc seulement 14 cas où le tiroir 1 seul est vide

2) P(2 tiroirs sont vides)=(3*1*1*1)/81 (3 choix pour le premier album puis pour les trois autre le tiroir est donc imposé)

D'accord

Pour finir P(au moins 1 tiroir est vide)=51/81=0,629...=0,63

Forcément pas d'accord
Mais entièrement d'accord avec Huppasacee :happy2:

[le_fabien]

On va peut être y arriver.
Je suppose que le tiroir 1 est vide alors chaque album à deux choix de tiroir
sachant qu'il y a 4 album on a 2*2*2*2=16 possibilités
Je recommence avec le tiroir 2 vide puis avec le tiroir 3 donc cela fait 3*16=48
Voilà :we: On va peut peut être se mettre d'accord...

[Sa Majesté]

On va peut être y arriver.
Je suppose que le tiroir 1 est vide alors chaque album à deux choix de tiroir
sachant qu'il y a 4 album on a 2*2*2*2=16 possibilités
Je recommence avec le tiroir 2 vide puis avec le tiroir 3 donc cela fait 3*16=48
Voilà :we: On va peut peut être se mettre d'accord...

Hélas non :triste:
Je ne peux que réécrire l'un de mes 1ers posts de ce topic (qui traitait du tiroir 3 vide)

Pas d'accord
En effet 2*2*2*2 contient le cas où tous les albums sont dans le tiroir numéro 1 (donc tiroir 2 vide) et le cas où tous les albums sont dans le tiroir numéro 2 (donc tiroir 1 vide)
Or tu cherches "seul tiroir numéro 3 exactement vide"
Tu comptabilises 2 cas en trop

Quand on pense que ce n'est qu'un pb de tiroirs et d'albums ! :marteau:
Ce qui m'étonne c'est qu'on a fait chacun un arbre et qu'on ne trouve pas le même résultat :lol2:

[Ruch]

Va falloir attendre parce que mon prochain cours de maths, c'est mercredi prochain.

Mais bon, réfléchissons ensemble à 4, et non 2 contre 2.

Finalement, je pense que vous êtes davantage prêts de la réponse que nous.
Mais en fait, j'ai pensé autrement.

Il y a 2^4 possibilités d'avoir le tiroir numéro 3 vide.
Pour obtenir le nombre de possibilités d'avoir l'évènement "un seul tiroir exactement est vide": 2^4 * 3 -3

Parce qu'il faut seulement enlever les cas "1111" , "2222" et "3333", seuls cas où 2 tiroirs sont vides (il y en a pas d'autres).


A Huspasace et Samajesté: quand vous faites , vous faites erreur de multiplier par 3 parce que c'est comme si vous retranchiez 6 cas, alors qu'il y en a que 3 !

Je m'explique: dans 2^4, on dit qu'un tiroir numéro X (1 par exemple) est vide, et l'état des 2 tiroirs nous importe peu. Mais il y a alors 2 possibilités qu'il faut enlever si on prend en considération l'évènement "seul tiroir 1 vide": tiroir 1 et 2 vide, 1 et 3 vide.

Jusque là, c'est ce que vous avez fait, tout va bien.

Mais considérons maintenant la même démarche mais en étudiant maintenant "seul tiroir 2 vide": 2^4 mais faut enlever 2 cas : 2 et 3 vide ou 2 et 1 vide.

Et oh surprise, on a déjà compté un cas précédemment: tiroirs 2 et 1 vides !

Donc le vrai calcul pour la question 3 "1 seul tiroir est vide" : 2^4 *3 - 3 = 45 et non 42.

Vous en dites? (Je sens que cette fois çi, j'ai raison :p ^^)