Prouver une inéquation

[t.itou29]

Posté par titou29


Bonjour,
Je bloque sur un problème:
Prouver que si a,b,c > 0 et abc=1, alors
1/(ab+a+2)+1/(bc+b+2)+1/(ca+c+2) <= 3/4 (désolé je ne sais pas utiliser le Latex)
J'ai bien vu que pour a=b=c=1, l'expression est égale à 3/4, et qu 'il faudrait que je montre que le maximum est atteint pour a=b=c=1 mais je ne vois pas du tout comment faire.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Ps: ce problème provient du site https://www.awesomemath.org/newsletter/current-issue.html

[hammana]

Posté par titou29


Bonjour,
Je bloque sur un problème:
Prouver que si a,b,c > 0 et abc=1, alors
1/(ab+a+2)+1/(bc+b+2)+1/(ca+c+2) <= 3/4 (désolé je ne sais pas utiliser le Latex)
J'ai bien vu que pour a=b=c=1, l'expression est égale à 3/4, et qu 'il faudrait que je montre que le maximum est atteint pour a=b=c=1 mais je ne vois pas du tout comment faire.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Ps: ce problème provient du site https://www.awesomemath.org/newsletter/current-issue.html

On démontre que si un produit de plusieurs termes est constant leur somme est minimum quand ils sont égaux. On a tout lieu de supposer que le maximum de la somme est obtenu quand les trois termes a, b, c sont égaux à 1.

La somme S est fonction de 2 variables puisque le produit a.b.c =1. Si on prend pour variables a et b, (je vais assimiler a et b à x et y pour rester avec des notations famillières) on peut considérer que la somme représente une surface d'équation z= S(x,y), et je veux démontrer que pour x=1, y=1 le plan tangent à la surface est le plan horizontal z = 3/4.

Si j'assigne à c la valeur 1, S ne dépend plus que d'une seule variable, p. ex. x puisque y=1/x.
Le calcul de cette somme donne :
(4x²+7x+1)/(6x²+8x+2)
L'étude de cette fonction montre qu'elle atteint son maximum 3/4 pour x=1. Le plan tangent à la surface passe donc par une droite horizontale de cote 3/4.

Je fais le même calcul pour y et j'en conclus que le plan tangent au point x=1, y=1 est bien le plan horizontal z=3/4.

J'espère que quelqu'un pourra nous donner une démonstration plus élégante.

[t.itou29]

Merci, je n'ai pas encore vu les surfaces d'équation et les plans (je suis en seconde) mais je vais me renseigner, c'est à rendre pour le 15 mars donc j'ai le temps. Comment vous dites il doit exister une démonstration plus élégante car dans les problèmes précèdents, les solutions utilisent souvent des notions simples, avec de la logique mais là je ne vois pas.

[hammana]

Merci, je n'ai pas encore vu les surfaces d'équation et les plans (je suis en seconde) mais je vais me renseigner, c'est à rendre pour le 15 mars donc j'ai le temps. Comment vous dites il doit exister une démonstration plus élégante car dans les problèmes précèdents, les solutions utilisent souvent des notions simples, avec de la logique mais là je ne vois pas.

Justement je ne vois pas de solution simple du niveau de seconde. J'aimerai bien en voir une quand vous l'aurez.

[t.itou29]

Est-ce que si je pose + +, je peux utiliser la règle que vous avez cité : si un produit de plusieurs termes est constant leur somme est minimum quand ils sont égaux.

[hammana]

Est-ce que si je pose + +, je peux utiliser la règle que vous avez cité : si un produit de plusieurs termes est constant leur somme est minimum quand ils sont égaux.

Je ne vois pas en quoi cela peut nous avancer. Je vais encore réfléchir à la question.