Prouver que f-1(x)=f(x) <=> f(x)=x

[FirstSalem]

Bonjour

J'ai besoin d'un petit aide

Soit f une fonction qui accepte une bijection f-1

Prouver que l'equation f-1(x)=f(x) equivaut a l'equation f(x)=x

merci d'avance

[wserdx]

Tu as dû faire une erreur dans ton énoncé.
Si , bijection admet un inverse
alors pour tout qui appartient à l'ensemble de définition de ,
on a

[mathelot]

Tu as dû faire une erreur dans ton énoncé.
Si , bijection admet un inverse
alors pour tout qui appartient à l'ensemble de définition de ,
on a

attention. :marteau: il ne s'agit pas de démontrer une identité
mais que deux équations ont m^me ensemble de solutions (il y a beaucoup moins de valeurs
pour lesquelles l'égalité est vraie)

[oscar]

figure


http://img208.imageshack.us/i/bijection.jpg/

[mathelot]

bon, ça me parait faux

de
f(0)=0

[FirstSalem]

Re bonjour
au fait , vous ne m'avez pas compris
il s'agit de demontrer que l'equation f(x)=f-1(x) a le meme ensemble de solutions que l'equation f(x)=x
en d'autres sortes
(on va prendre comme signe de "il existe" E )

(E x de Df tel que f(x)=f-1(x)) <=> (E x de Df tel que f(x)=x)

Bien entendu on parle du meme x


merci


pour matteo : X est de Df

[Timothé Lefebvre]

Prouver que l'equation f-1(x)=f(x) equivaut a l'equation f(x)=x

Bonjour,

en même temps, tu aurais pu être plus clair et nous parler directement du domaine de définition (même si celui-ci est prit en compte dans l'équivalence des fonctions).

[mathelot]

au fait , vous ne m'avez pas compris
il s'agit de demontrer que l'equation f(x)=f-1(x) a le meme ensemble de solutions que l'equation f(x)=x

bonjour,

je t'ai répondu hier que je pensais le résultat faux et j'ai exhibé un contre-exemple:




c'est bien une bijection de R sur R, involutive

est vérifié pour tout x
est vérifié pour x=-1,1,0

il doit manquer des hypothèses:
f définie,continue sur

[mathelot]

ce que l'on veut démonter se quantifie ainsi



dans ce sens <=, c'est facile
si f(x)=x
on compose par :
mais
d'où

Pour la réciproque
si
on compose par f:
f(f(x))=x
x est point fixe de fof

[FirstSalem]

Pour la réciproque
si
on compose par f:
f(f(x))=x
x est point fixe de fof

et alors?



merci deja pour la reponse

[mathelot]

de toutes façons l'équivalence est fausse.
voilà un 2eme contre-exemple basique

g(x)=-x

y=-x ssi x=-y



on voit bien que les deux équations ne sont pas équivalentes.

[FirstSalem]

d'accord , je vais etre plus explicite
Supposons que f est continue de R vers R et f-1 et sa bijection

Prouvons que les points dintersection de Cf et de Cf-1 appartiennent tous a la droite dont l'equation est y=x

[mathelot]

d'accord , je vais etre plus explicite
Supposons que f est continue de R vers R et f-1 et sa bijection

Prouvons que les points dintersection de Cf et de Cf-1 appartiennent tous a la droite dont l'equation est y=x

t'es têtu :marteau:

[FirstSalem]

je n'ai juste pas compris :triste:
:help:

[Skullkid]

Ce que te dit mathelot c'est que ton énoncé est faux : f : x -> x n'est pas la seule bijection continue telle que f^(-1) = f. Et il te donne un contre-exemple : f(x) = -x.

[mathelot]

reprenons.

d'où vient cet énoncé (il est intéressant) ?

[FirstSalem]

[img=http://img384.imageshack.us/img384/9741/20091009182655.th.jpg]

[mathelot]

c'est géniaaaaaaaaaal :we:

l'équivalence que tu demandes est vraie pour la fonction f de l'exercice !!


mais posée telle quelle, ta question signifiait:

l'équivalence est vraie pour une catégorie générale de fonctions.

par exemple:
- les bijections de R sur R
-les bijections continues (elles sont strictement monotones)
-les bijections continues croissantes etc..

je n'arrive pas à lire l'énoncé.
Il semble que si g(x)=x, dans l'exercice:
f-g est strictement croissante ?

[FirstSalem]

f(x)=x+arctan((x)/racine(1+x^2))

La question est 6-a : Prouver que Quelque soit x de Df : f(x)=f-1(x) <=> f(x)=x

[FirstSalem]

up merci