Prouver que 2 droites sont perpendiculaires

[Vados]

Bonsoir j'aurai vraiment besoin de vous pour m'aider sur cet exercice s'il vous plaît

ABC est un triangle rectangle en A , I milieu de [BC] et H pied de la hauteur issue de A.
J et K sont les projetés orthogonaux de H sur les droites (AB) et (AC)
Démontrer que (KJ) et (AI) sont perpendiculaires

[chan79]

Bonsoir j'aurai vraiment besoin de vous pour m'aider sur cet exercice s'il vous plaît

ABC est un triangle rectangle en A , I milieu de [BC] et H pied de la hauteur issue de A.
J et K sont les projetés orthogonaux de H sur les droites (AB) et (AC)
Démontrer que (KJ) et (AI) sont perpendiculaires

On peut y arriver en cherchant des angles égaux.(si un triangle a deux angles complémentaires, il est rectangle)

[Vados]

Oui mais j'ai travaille le produit scalaire si on peut l'utiliser

[Vados]

J'aimerais pouvoir faire ce travail assez rapidement s'il vous plait.J'aimerais savoir les différentes méthodes sachant que je suis sur le chapitre du produit scalaire actuellement

[paquito]

ABC étant rectangle en A, posons = et; on a ; appelons L et P les points d'intersection de (AH) et (JK) et de (JK) et (Ai); JAKH est un rectangle dont les diagonales égales se coupent en L, donc ALJ est isocèle en L et , puisque AHB est rectangle en H; AIC est isocéle en I, puisque I est le centre du cercle circonscrit à ABC, donc .
Dans le triangle rectangle JAK on a donc AKPet enfin, si on se place dans le triangle AKP, on a et ; comme, et donc (AI) et (JK) sont perpendiculaires!


Il est clair que sana aucune indication, cet exercice est très difficile.

[chan79]

Les deux droites sont perpendiculaires si





ça mène au résultat

[Vados]

C'est assez compliqué en effet ! mais on utilise pas vraiment le produit scalaire la ...
J'ai déja assez de mal à comprendre ce qu'est le principe scalaire en générale..

[Vados]

Chan je vais essayé de développer sur votre idée

[siger]

bonsoir

tres dificile?

le triangle ABI est isocele: angle (IAB) = angle ( IBA)
les triangles rectangles ABC er AHC ont un angle commun d'ou angle(CBA)=angle(CAH)
rectangle AJIK : angle (KAH) = angle (KJH))
d'ou finalement angle (CJH)= angle (IAB)
.......
deux droites faisant des angles egaux avec deux droites perpendiculaires sont .....

[Vados]

Oui c'est assez difficile comme l'a dit paquito . Et puis je comprend votre méthode mais j'aimerais utiliser le produit scalaire en prouvant que AI.KJ=0

[paquito]

J'ai donné une solution en utilisant les balises [TEX]; non seulement le résultat est lamentable, mais la moitié de ma solution a été mangée; résultat: 3/4 h de perdu! je recommence sans utiliser ces machins diaboliques.
Pour commencer, tu fait une figure très précise en notant L l'intersection de (AH) et de (JK) et P celle de (AI) et de (JK).

ABC étant restangle en A, posons a = l'angle ACB et b pour l'angle ABC; on a a+b=TT/2;
AJHK est un rectangle dont les diagonales sont égales et se coupent en leur milieu L; par conséquent JLA est isocèle en L, d'où l'angle AJL=l'angle JAL=a car dans le triangle ABH rectangle H, on a angle ABH=b donc angle BAH=Angle JAL=a.
De plus AIC est isocèle en I puisque IA et IC sont 2 rayons du cercle circonscrit à ABC qui a pour centre I; donc l'angle KAP=angle ACB=a.
Considérons le triangle AJK rectangle en A, on a angle AJK=a, donc angle AKJ=b.
Pour terminer considérons le triangle AKP; on a angle PAK=a et angle AKP=b.
Comme a+b=pi/2, APK=pi/2 et les droites (AI) et (JK) sont perpendiculaires!

Il est clair que sans aucune indication, cet exercice est extrêmement difficile.

[Vados]

Ah super ! J'ai bien compris ! :)
Mais comme je disais , je suis en plein chapitre sur le produit scalaire et j'aimerais savoir comment l'utiliser pour résoudre cela
Ceci dit merci pour votre aide , je compte ajouter cette méthode sur mon DM tout de même

[Vados]

C'etait vraiment bien parti avec l'idée de Chan79 , j'aimerais de l'aide car c'est vraiment urgent ! :)

[Vados]

S'il vous plait mon DM est pour demain première heure et j'aimerais pouvoir le cloturer pour aller dormir...

[paquito]

bonsoir

tres dificile?

le triangle ABI est isocele: angle (IAB) = angle ( IBA)
les triangles rectangles ABC er AHC ont un angle commun d'ou angle(CBA)=angle(CAH)
rectangle AJIK : angle (KAH) = angle (KJH))
d'ou finalement angle (CJH)= angle (IAB)
.......
deux droites faisant des angles egaux avec deux droites perpendiculaires sont .....

Si, c'est difficile! Tu pars de IAB isocèle; je ne crois pas que se soit évident pour un élève , déjà; ensuite il faut voir un rectangle et tu utilises une propriété qui n'est pas de notoriété publique; la propriété des angles complémentaires dans un triangle rectangle, OK;
Mais après tu affirmes que angle CJH=angle IAB, c'est faux;
Quand à la conclusion: "2 droites qui font le même angle avec 2 perpendiculaires sont perpendiculaires", je ne pense pas qu'il y ait beaucoup d'élèves qui penseraient à un truc aussi tordu.(Et quelles droites?)

[Vados]

J'aimerais bien prouver que vect(AI) . vect(KJ) = 0 !
Ca m'a l'air d'être la meilleure piste !

[Vados]

Non aller je vous en prie c'est vraimet important

[paquito]

AI=1/2(AB+AC) (facile à prouver) et JK=JA+AK, donc
2AI.JK=AB.JA+AB.AK+AC.JA+AC.AK= AB.JA+0+0+AC.AK; mais J est le projeté orthogonal de H sur AB, donc AB.JA=AB.HA et pour la même raison AC.AK=AC.AH;d'où:
2AI.JK =(AC-AB).AH=BC.AH=0.