Prouver que la dérivée de x^3 est 3x²

[benekire2]

Bonjour, alors j'ai fais:

f(a+h)=f(a)+h(3a²+ah)+h(h²)

la limite de h² quand h tend vers 0 est 0 donc la dérivée est 3a²+ah mais on sais que c'est réellement 3a², peut-on négliger ah, du fait que h sois au plus proche de zéro? Si ouimerci, si non ou est mon erreur?

[Esturgeon]

Bonjour,
La dériviée d'une fonction est la limite de quand h tend vers 0. Il te manque donc des étapes.

[oscar]

Bonjour

f(x) = x³
f' (x) = lim [ ( a+h)³ - a³]/ h
si h----> 0
Il suffit de développer ou appiiquer la formule A³-B³

[benekire2]

oui mais il existe l'autre formule: f(a+h)=f(a)+Ah+h[phi]h
ou A est la dérivée

[benekire2]

et c'est avec cette formule que je voudrais y arriver, il faut aussi que lim h==>0 de phi(h) donne 0, ce qui est le cas, voila ce que je sais.

[Ericovitchi]

non si tu veux démontrer que la dérivée de x^3 est 3x² il faut repartir de la définition de la dérivée et pas utiliser une formule qui suppose acquis la valeur de la dérivée.
Autrement dit suis les conseils d'Oscar, c'est la seule bonne façon.

f(x) = x³
f' (x) = lim [ ( a+h)³ - a³]/ h
si h----> 0
Il suffit de développer ou appiiquer la formule A³-B³

Pourquoi ne pas faire comme il dit ? tu ne sais pas développer ( a+h)³ - a³ et calculer la limite ?

[benekire2]

si si je sais faire, mais juste que je pensais pouvoir y arriver avec l'autre définition de la dérivée, merci :)

[uztop]

Salut,

la formule n'est pas une définition de la dérivée. C'est une utilisation de la dérivée pour faire une approximation (affine) d'une fontion. En effet, tu ne connais pas

[ft73]

Bonjour, alors j'ai fais:

f(a+h)=f(a)+h(3a²+ah)+h(h²)

la limite de h² quand h tend vers 0 est 0 donc la dérivée est 3a²+ah mais on sais que c'est réellement 3a², peut-on négliger ah, du fait que h sois au plus proche de zéro? Si ouimerci, si non ou est mon erreur?

Tu y es presque :
(a+h)^3=a^3+3a^2h+3ah^2+h^3
=a^3+(3a^2)h+h(3ah+h^2)

Et donc la fonction cube est dérivable, et sa dérivée est 3a^2.

[ft73]

Salut,

la formule n'est pas une définition de la dérivée. C'est une utilisation de la dérivée pour faire une approximation (affine) d'une fontion. En effet, tu ne connais pas

Bien sûr que c'est une définition de la dérivée ! (enfin, voir message suivant...)

[ft73]

oui mais il existe l'autre formule: f(a+h)=f(a)+Ah+h[phi]h
ou A est la dérivée

Ici il faut faire attention : si tu trouves A tel que ton égalité soit vraie (avec lim phi=0), alors f est dérivable en a et A est son nombre dérivé en a.