Propriétés du PGCD

[Anonyme]

bonjour à tous, j'ai un petit souci avec un exo de maths. Si vous pouviez m'aider ce serait vraiment sympa.

voila l'exercice :
determiner les couples (x;y) d'entiers naturels solutions du système.

x²-y² = 5440
PGCD(x,y) = 8

Je sais pas comment faire avec les carrés. Merci d'avance.

[illys]

slt hé bien tu remarque que x²-y² est une identité remarquable !!!
alors, ça devient : (x-y)(x+y)=...
en découle alors le fait que (x-y) est un diviseur de ton nombre, tout comme (x+y). Tu cherches ainsi les différentes possiblilités pour chacun et tu élimines ensuite avec ta deuxième info qui est PGCD (x,y)=8.
Bon courage !

[Galt]

Bonjour
Un point de base : quand on connait le pgcd (ici 8), on peut poser a=8a' et b=8b', avec a' et b' premiers entre eux.
Ensuite, dans la première équation, on part de , qu'on simplifie par 64, et on factorise à l'aide d'une bonne vielle identité remarquable. Il reste à voir que 85 ne peut pas s'écrire de 15000 manières comme produit de deux entiers. On trouve toutes les possibilités de a' et b' (sans oublier qu'ils doivent être premiers entre eux)
Et voila

[illys]

bien vu Monsieur Galt (je sais, vous êtes professeur...) c'est vrai que cette méthode est plus valable... c'est toujours intéressant d'avoir plusieurs avis et de voir qu'il existe de meilleures solutions que d'autres à un pb... Bonne soirée à tous