Propriété de limite

[Dwenfa]

Bonjour,

Pouvez vous me dire si la proposition suivante est vrai ou fausse svp ? Si possible accompagné d'un exemple ?

Si Un est une suite qui converge vers L telle que pour tout n, Un≥0, alors L≥0


Je vous remercie.

[pascal16]

c'est vrai

si l était strictement négative, on ne pourrait pas trouver de epsilon aussi petit que l'on voudrait qui vérifierait |Un-l|=(Un-l) < epsilon pour tout n supérieur à un certain rang.(epsilon = l/2 pour un contre exemple)

[Tiruxa47]

Bonjour,

Prenons un exemple mais on peut le faire pour une limite l, l<0, quelconque

Supposons que Un ait pour limite -0.5
Prenons un intervalle centré sur cette limite ]-0.6;-0.4[
Par définition de la limite, il existe un N tel que pour tout n supérieur à N on ait

Un inclus dans cet intervalle, c'est à dire Un strictement négatif ce qui est absurde, donc la limite ne peut pas être -0.5
On peut faire de même pour toute limite strictement négative