Propriété à demontrer

[polamalu]

bonjour!!
Je suis en premiere,et dans d'un DM de Math,on me demande de démontrer la propriété suivante:
"les solutions du système (S) `x + y =S`

`xy = P`

sont les solutions de l'équation (E) : `X^2`-SX+P=0";à l'aide d'un polynomes.
hors je ne trouve pas comment la demontrer,et je solicite donc votre aide pour m'éclairer

[oscar]

Bonjour

Soit ax+ bx =c =0 ou x² +b/a x +c/a=0 (1) (a#0)

Les racines sont x' = [-b+v(b²-4ac)]/2a et x" = [-b-v(b²-4ac)]/2a

S = (-b + v(b²-4ac - b -v(b²-4ac)/ 2a = -2b / 2a = - b/a

P= x'*x" = [-b+v(b²-4ac)][(-b-v(b²-4ac) ]/2a*2a( formule (a+b)(a-b)=a²-b²)
P= [ b² -( b² +4ac)]/4a²= (b²-b²+4ac)= 4ac/4a²= c/a

(1) devient x² - Sx + P=0

[maxime71]

les solutions d'un polynome du type ax^2+bx+c=0 sont x1=(b-v(delta))/2a et x2=(b+v(delta))/2a avec delta=b^2-4ac
soit dans ton cas x1=(S-v(delta))2 et x2=(S+v(delta))/2
delta=S^2-4P
=(x+y)^2-4(xy)
=x^2+2xy+2y2-4xy
=x^2-2xy+y^2
=(x-y)^2
d'où x1=((x+y)-v(x-y)^2)2=(x+y-(x-y))/2=2y/2=y
x2=((x+y)+v(x-y)^2)/2=(x+y+x-y)/2=2x/2=x
x et y sont les racines du polynomes x^2-Sx+P=0 avec S=x+y et P=xy

[emdro]

Comme vous vous compliquez la vie...

si x+y=S et xy=P,
d'après la première équation, y=S-x, donc en substituant dans la deuxième,
x*(S-x)=P
soit
Sx-x²=P
ou encore
x²-Sx+P=0

Donc x est bien solution de l'équation X²-SX+P=0

idem avec y. :happy2:

[polamalu]

merci à tous pour votre aide qui ma été tres utile pour finaliser mon DM!!
bon courage pour la suite! :happy2: