Propriété de l'angle inscrit par les complexes!!

par **GeorgeB** » 11 Mar 2010, 19:43

Bonjour

J'ai un exercice a faire et je n'y arrive pas
On doit démontrer que avec C un cercle de centre O, A et B et M trois points de ce cercle on a:

2(MA,MB)=(OA,OB) [2pi]

( ce sont des angles orientés) On doit passer par les complexes ( c'est une obligacion du prof)

alors j'ai traduis ca en complexe .

a,b et z affixes de A,B et M .
On prend un repère orthonormal d'origine O et d'unité le rayon du cercle ;

J'ai donc 2arg((b-z)/(a-z))=arg(b/a)

que je peut transformer en 2arg(b-z)-2arg(a-z)=arg(b)-arg(a)

Comment le montrer ? Merci

par **GeorgeB** » 11 Mar 2010, 20:38

UP !!

C'est trés important, je vous en prie ..
Je vous remercie !!

PS: Je ne sai vrément pas comment commencé !!

par **Ben314** » 11 Mar 2010, 20:39

Salut,
Peut être faudrait-il utiliser à un endroit ou un autre le fait que les points A,B et M sont sur le cercle (ça m'étonerait un tout petit peu que la formule soit vrai pour 3 points quelconques...)
Par exemple, tu pourrait commencer par dire (vu que tu as considéré que le cercle est de rayon 1) que :

;

et

Ensuite, pour trouver par exemple l'argument de b-z, fait un cercle trigo, place b et z dessus et regarde où est situé b-z : on peut directement "lire" l'argument de b-z sur le dessin.
Un fois que tu "intuite" que l'argument de b-z est ?, tu met

en facteur dans b-z et tu vérifie que ce qu'il reste est bien réel...

Bon courage.

par **GeorgeB** » 11 Mar 2010, 21:37

Peut on me dire si ceci est juste et si c'est "la bonne voie" ?

2(MA,MB)=(OA,OB) [2pi] <=> 2arg((b-z)/(a-z))=arg(b/a) <=> 2arg(b-z)-2arg(a-z)=arg(b)-arg(a)

Merci encore!!

par **Ben314** » 11 Mar 2010, 23:20

On peut dire que ce n'est pas faux, mais pour le moment, tu n'as pas vraiment commencé le moindre calcul...

par **GeorgeB** » 12 Mar 2010, 07:09

Je ne vois vraiment pas par ou commencé et je n'ai pas compris votre post !!

par **benekire2** » 12 Mar 2010, 12:01

Et bien en ait je pense ( mais ça n'est que moi) que tu es aller trop loin dans la réécriture de ton énoncé.

Si on s'arrête à 2arg((b-z)/(a-z))=arg(b/a)

En notant arg(a)=A arg(b)=B on a arg(b/a)=B-A

Il va falloir mettre b,a et z sous forme exponentielle, factoriser par a et b dans :
(b-z)/(a-z) et ensuite faudra se servir d'une petite astuce de factorisation ^^

et tu devrais trouver arg((b-z)/(a-z))=(B-A)/2

Bon, si j'ai le temps je rédige une preuve dans l'aprem, parce que c'est pas forcément un exercice trivial pour tous !!

PS: D'ailleurs tu m'as donné une idée pour un ( ou deux) exos a mettre sur le forum !!

par **GeorgeB** » 12 Mar 2010, 16:51

Je te remercie !!

J'ai un petit soucis sur un autre exo:

Montrer que :

|z+1|²=2|z|² <=> |z-1|²=2

J'ai essayé de divisé par |z|² mais ... ça me donne :

|z+1|²=2|z|² <=> |1-1/z|²=2

Et ça me parrait faux en fait ... alors comment faire ? Merci.

par **Sa Majesté** » 12 Mar 2010, 20:56

Salut

Ça peut se faire en utilisant

par **GeorgeB** » 12 Mar 2010, 21:51

Mais comment faire ?
En nottant z'= z barre

On a |z+1|²=2zz' et comment continuer ?? Merki beaucoup !!

par **Sa Majesté** » 12 Mar 2010, 22:24

Eh bien tu pars de

ssi

par **GeorgeB** » 12 Mar 2010, 22:28

Sa Majesté a écrit:Eh bien tu pars de ssi

Comment continuer ?
Dois je remplacer z par x+iy ou alors il y a une astuce ?

par **Sa Majesté** » 12 Mar 2010, 22:31

Pas besoin de remplacer par x+iy
Que vaut

?

par **GeorgeB** » 12 Mar 2010, 22:36

ca vaut z'+1 mais je vois pas a quoi ca mène ...

par **Sa Majesté** » 12 Mar 2010, 22:39

Tu n'as plus qu'à développer et à regrouper les termes en

par **GeorgeB** » 12 Mar 2010, 22:44

ca y est j'ai réussi grace a vous !!!

Merci beaucoup !

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