Prolongement par continuité (doute)

[Lostounet]

Bonjour !

J'ai un petit doute concernant la situation suivante. Soit g une fonction dérivable sur ]0 ; 1[ et qui s'avère par la suite constante sur cet intervalle.
J'ai constaté que la limite de g en 0 valait L et que la limite de g en 1 valait L.

Puis-je dire que f(x) = L sur [0 ; 1] ?

En gros, g est continue sur ]0;1[ car dérivable ... mais a-t-on automatiquement la continuité sur [0;1] ?

Merci de votre aide pour cette question simple

[zygomatique]

salut

une fonction constante sur un intervalle ouvert peut toujours se prolonger sur l'intervalle fermé .... et même sur R en entier ....

si f(x) = c sur l'intervalle ]a, b[ on peut toujours poser f(x) = c sur R ....

on peut même prolonger par n'importe quelle fonction g telle que g(a) = g(b) = c ....

[Ben314]

Tout dépend évidement de la façon dont tu as prolongé.
Pour la prolonger, tu as défini f(0) comment ? et f(1) ?
Si tu as pris les limites, je te rappelle que ça s'appelle "un prolongement par continuité"...

[Lostounet]

Bonjour Zygomatique,

En fait le truc qui me chagrine c'est que je dois prouver, que pour tout x de [0;1]
g(x) = L

Sauf que ma fonction g n'est définie que sur ]0;1[ et j'ai pu travailler sur f que la-dessus. J'ai montré que g(x) = c sur ]0;1[

Et g tend vers L en 0 et en 1 par une étude de limites.
Du coup puis-je dire que g(x) = L ?
c ne peut-il pas être différent de L ?

@Ben: Oui Ben je m'en doute que ça s'appelle comme ça pour une raison
J'ai fait une étude de limites. Dois-je donc dire que g continue sur ]0;1[ et elle admet un prolongement continu en 0 et en 1 donc sur [0;1] tout entier ce qui m'offre gentiment une fonction constante sur [0;1] ?

[Ben314]

...ma fonction g n'est définie que sur ]0;1[
...je dois prouver, que pour tout x de [0;1] g(x) = L

Si ton énoncé contient effectivement les deux phrases rouges çi dessus avec rien entre les deux pour préciser qui sont g(0) et g(1) alors... il y a clairement une erreur d'énoncé...

[Lostounet]

Enfin oui c'est choquant car c'est écrit pour tout x tel que: 0<= x<= 1

Avec clairement un ln(x)*ln(1 - x) dans l'égalité qui à mon époque n'étaient pas définis en 0 et 1 (Resp.)\
Mais heureusement que la limite à droite et à gauche (en 0 et en 1) ça reste cohérent avec la valeur donnée,
ie, g(x) = L pour tout x de l'intervalle fermé

[zygomatique]

et si tu nous donnais l'énoncé exact .... qu'on puisse parler concrètement .....

[Lostounet]

D'accord sans problème mais ce ne sera pas niveau Terminale.

f désigne la somme de la série entière (z^n/n^2) sur un disque fermé de convergence. En outre,
f vérifie pour tout t, t*f'(t) = ln(1 - t) sur [0;1] fermé

On me demande de prouver que pour tout x réel de [0;1] fermé,

f(x) + f(1 - x) + ln(x)*ln(1 - x) = f(1)

Donc moi j'ai proposé g(x) = f(x) + f(1 - x) - ln(x)*ln(1 - x) et je ne me permets pas à ce stade x=0 ou x=1, et qui est dérivable sur ]0;1[ et g' s'annule

g tend vers f(1) de part et d'autre (en x = 0 et x = 1) avec les gentils ln(x)*ln(1 - x) ~ -xln(x) en 0 qui a le bon vouloir de tendre vers 0 comme je veux.
Vous connaissez la suite

[Ben314]

t*f'(t) = ln(1 - t) sur [0;1] fermé

J'ai des doutes concernant le fait qu'on puisse calculer ln(1-t) pour t=1.

tout x réel de [0;1] fermé,
f(x) + f(1 - x) + ln(x)*ln(1 - x) = f(1)

Et si c'est formulé comme ça, il y a évidement une erreur d'énoncé.

[Lostounet]

Oui excuses, c'est ouvert.