Programme de Seconde ?

[benekire2]

Pour l'autre remarque que

Pour n! on a n!=n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1

et par convention 0!=1

[Dinozzo13]

Je me permet d'expliciter la première formule que tu as donnée Bennekire au cas où Lostounet n'aurait pas bien compris :++:

Si on considère la somme des n premiers entiers naturels :

Si tu calcules


Si tu additionnes colonnes par colonnes :

Or la somme commence à et fini à donc il y aura termes, donc :
et par conséquent .

[Dinozzo13]

Je rajouterai même à propos de la factorielle que si ou si tel que alors n'a pas de sens.
En effet, tu ne trouveras jamais :ptdr:
De plus : , c'est-à-dire le produit des n premiers entiers naturels, ce qui rappelle la somme des n premiers entiers naturels.
Ainsi, le symbole somme étant sigma , on peut définir le symbole produit qui se définit à peu près pareil que la somme :
Quel que soit :
.

(C'est joli tout ça ^^)

[Dinozzo13]

Encore une remarque ^^ :

Ca peut paraître bizarre mais par exemple :
il s'agit d'une somme de termes constants qui est .

Mais tu auras le réflexes de passer directement à car partant de et allant jusqu'à , tu auras nécessairement termes.
Par contre si tu as deux entiers naturels et tels que alors par exemple :

Donc si et alors .

[Lostounet]

J'avais découvert avec Sve@r (c'est lui qui me l'ait appris) une fois que la somme de n entiers naturels était n(n + 1)/2 à partir d'exemples numériques (forum collège):
1 + 2 + 3 + 4 + 5 ; on pourrait juxtaposer la même somme en dessous:
5 + 4 + 3 + 2 + 1
En sommant colonne par colonne, on a 6 partout. 5 colonnes de 6 (5 * 6). Les deux lignes sont identiques, on divise par 2 pour avoir une idée de ce que comporte une seule ligne.
30/2 = 15

Avant de passer à la multiplication (comment appeler le symbole?), pourriez-vous s'il vous plait m'aider à lire plus aisément sigma avec une petite application ? Merci, ce serait sympa :D

Je vous remercie de votre aide!


Sve@r: Ok, je vais re-consulter le tableau.

[Lostounet]

Encore une remarque ^^ :

Ca peut paraître bizarre mais par exemple :
il s'agit d'une somme de termes constants qui est .

Mais tu auras le réflexes de passer directement à car partant de et allant jusqu'à , tu auras nécessairement termes.
Par contre si tu as deux entiers naturels et tels que alors par exemple :

Donc si et alors .

Désolé Dino, mais j'ai du mal à comprendre..!
Il est passé où le 'i' ? On pose i = 4? (Dans la première)

[Dinozzo13]

T'inquiète, moi aussi j'avais pas bien compris mais en fait 'y a pas à discuter c'est comme ça ^^.
Avant on avait une expression en fonction de i et on faisait la somme de cet expression avec toutes les différentes valeurs de i.
Là, il n'y a qu'un terme constant : 4.
Par définition :
où il y a termes 1. donc

Par conséquent, si on considère :

car 4 ne dépend pas de i donc on peut le mettre en facteur.
Et donc

[Dinozzo13]

Si tu veux de façon générale :
Si et tels que alors :


m ne dépendant pas de i.

J'espère t'avoir éclaircis tout ça :+++: sinon, n'hésite pas à redemander ^^

[Lostounet]

En effet, ça devient de plus en plus clair, merci beaucoup :)

Par contre, pourquoi fais-tu + 1? b - a + 1?

[benekire2]

Le symbole du produit c'est Pi majuscule,

si tu as des problèmes a comprendre, alors je t'invite a développer ces expressions, pour mieux les visualisées, n'oublie pas que ces écritures ne sont que des simplifications d'écriture !!

si tu as des soucis pour demande toi que vaut le terme d'indice k=1 .. il vaut m puisque il ne dépend pas de k et ainsi de suite et tu te rend vite compte que

[Olympus]

@Lostounet : Pour ton erreur sur , ben on va faire un peu plus lentement .

Déjà, tu comprends bien la définition je suppose ?

Oki, alors pose et , t'auras :

.

En posant , t'auras :

[Dinozzo13]

C'est comme ça, lorsque tu as une somme alors elle contient la différence de la dernière valeur de i () et de la première valeur () et on ajoute 1, d'où termes :++:

[Lostounet]

Tout à fait compris je pense :)
Merci!

[Dinozzo13]

De rien, c'est toujours un plaisir :+++:

[Dinozzo13]

Tiens j'te donne deux exercices à la fois sympa et originaux que j'ai eu en troisième :++: :we:

I : Soit
a) Sans aucun calcul, montrer que après avoir donné la définition d'un rationnel.
b) Simplifier .
c) Montrer que .
-------------------------------------------------------------------------
II : Dans un repère d'origine , on décide que les points de coordonnées entières représentent les nombres qui s'écrivent .
Exemple : Le point de coordonnées représente le nombre ( et ).
1°) Tracer un repère et placer puis le point représentant le nombre .
2°)a) Placer en bleu les points qui représentent les diviseurs de et en jaune les points qui représentent les diviseurs de .
b) Quels sont les diviseurs commun à et ?
Quel est le plus grand ?
3°)a) Placer le point représentant le nombre .
b) Calculer les nombres représentés par les points du quadrillage situés sur le segment .
Que peut-on remarquer ?
c) Quel est le nombre de diviseurs de ? Expliquer.

Voilà, amuse-toi bien :+++:

[Lostounet]

Tiens j'te donne deux exercices à la fois sympa et originaux que j'ai eu en troisième :++: :we:

I : Soit
a) Sans aucun calcul, montrer que après avoir donné la définition d'un rationnel.
b) Simplifier .
c) Montrer que .

Salut Dino!!!
Désolé pour le retard :S

Je m'y lance tout de suite!

a) Par définition, un nombre rationnel est un nombre dont le développement décimal devient périodique à partir d'un certain rang. Tout nombre rationnel admet au moins une écriture a/b avec a et b deux entiers relatifs.

A est un enchainement de fractions en escalier, dont les numérateurs et dénominateurs sont tous des entiers relatifs. Ainsi, A est un rationnel.


b) (Après simplification et calcul).

c)
On notera qu'il s'agit d'une puissance entière d'un décimal "limité" non périodique. Ainsi, il s'agit d'un décimal.
Pour l'étape qui suit, il nous faudra nous 'débarrasser' du dénominateur, qui risque d'ôter l'écriture de D.

=
=
=
=

Il s'agit du produit de deux puissances entières de deux décimaux non périodiques. Alors il ne peut qu'aboutir à un décimal.

Je m'attaque au second? D'autres idées pour une démonstration meilleure ?

Merci Beaucoup!!

[Dinozzo13]

C'est tout as fait juste.
Mais je te propose un moyen un peu plus simple :
b) Si tu considères au lieu de .
c) Alors tu auras :
, en posant .
Or donc .

Le deuxième est un peu plus simple je trouve.

[Lostounet]

Re, Dino!

D'accord :)
Cependant, pour le deuxième, je ne saisis pas vraiment l'astuce..! Pourrais-tu m'éclaircir un peu ce serait gentil :D!

[benekire2]

et bien vaut mieux laisser en fractions, puisque une fraction est un rationnel. Ensuite pour montrer que c'est un décimal il faut que tu trouve un couple (a,k) d'entiers tels que pour montrer que n est un décimal, rien de plus.