Produit Scalaire et Théorème de la médiane

[tofu69]

Bonjour,
J'ai parcouru quelques difficultés avec ce dm de math,
Je vous fais part du sujet et de mes réponses
voici la figure : http://imageshack.us/scaled/landing/42/ba011.jpg
BI=CI=2 et AI=3
H est le projeté orthogonal de A sur (BC)

Calculer:
1. Le produit scalaire AB.AC (penser au théorème de la médiane)
2. AB²+AC²
3. AB²-AC²
4. Longueur AB
5. Longueur AC
6. Produit scalaire BA.BI
7. En déduire ABI
8. Déterminer BAC
9. Déterminer longueur BH

1. Comme (ABC) est un triangle et I le milieu du segment [BC], je peux utiliser le théorème de la médiane:
AB.AC=AI²-1/4 BC²
=3²-(1/4+4)²
=8

2.Comme (ABC) est un triangle quelconque et AI, la médiane issue de A, je peux utiliser le théorème d'Apollonius:
AB²+AC²= 2BI²+2AI²
=(2*2)²+(2*3)²=52

3. AB²-AC². AHI est un triangle rectangle car H est le projeté orthogonal de A et forme un angle droit sur [BC].
Donc: Cos(AIH)= côté adjacent/Hypothènuse
Cos(pi/3)= HI/AI
1/2= HI/3
HI= 3*1/2=3/2

Comme (ABC) est un triangle, I le milieu du segment [BC] et H le projeté orthogonal de A sur [BC], je peux utiliser le théorème de la médiane:
AB²-AC²= 2BC²*IH
= (2*4)²*(3/2)
= 64*3/2= 96

4.BH= BC-(HI+IC)
= BC-(3/2+2)
= 4-7/2= 1/2
Comme AHB est un triangle rectangle, je peux utiliser le théorème de Pythagore:
AH²=AI²-HI²
=3²-(3/2)²
=27/4
AH=racine27 /2

BH²+HA²=BA²
=1/2²+(racine27 /2)²
= 1/4+27/4=28/4= 7

BA= racine de 7

5. Le traingle AHC est rectangle=
AC²=AH²+HC²
= (racine de 27/2)² +(3/2+2)²
=19

AC= racine de 19

Il y a donc une erreur puisque AB²+AC²= 52 et 19+7=26
et AB²-AC²= 96 et 19-7= 12


6. BA.BI= 1/2[BA²+BI²-AI²]
= 1/2[7+2²-3²]
= 1/2[2]= 1

7.BA.BI= BA*BI*cos(ABI)
= 2 racine de 7 * cos (ABI)

1= 2racine de 7* cos (ABI)
1/2racine de 7= cos (ABI)
ABI= 79.1°

8. BAH= 180° -(90°+79.1°)
= 180-169.1=10.9°
HAI= 180°-(90°+60°)= 180-150=30°

IA.AC= 1/2[IA²+AC²-CI²]
= 1/2[3²+19-2²]
= 12

IA.AC = IA*AC*cos(IAC)
12= 3*racine de 19*cos IAC
4 racine de 19 /19= cos IAC

IAC= 23.4°


DONC: BAC= BAH+HAI+IAC=10.9+30+23.4=64.3°

Voila, pouvez vous me corriger car je sais qu'il y a des fautes.
Merci d'avance, :lol2:
tofu69

[tofu69]

9. Bh=bc-(hi+ic)
=bc-(3/2+2)
=4-7/2=1/2

[tofu69]

9. Bh=bc-(hi+ic)
=bc-(3/2+2)
=4-7/2=1/2

Aidez-moi s'il vous plaît :triste:

[siger]

Bonjour,

9. Bh=bc-(hi+ic)
=bc-(3/2+2)
=4-7/2=1/2

Aidez-moi s'il vous plaît :triste:

1-OK
2- P = AB^2+AC^2= (AB+AC)^2- 2AB*AC = 4AI^2 - 2AB*AC .........
3- Q= AB^2 -AC^2 = (AB+ AC)*(AB-AC) = 2AI* CB .......
4- AB^2 = (P+Q)/2
5- AC^2 = (P-Q)/2
...
9-BA.BI = BH*BI.....

[tofu69]

Bonjour,


1-OK
2- P = AB^2+AC^2= (AB+AC)^2- 2AB*AC = 4AI^2 - 2AB*AC .........
3- Q= AB^2 -AC^2 = (AB+ AC)*(AB-AC) = 2AI* CB .......
4- AB^2 = (P+Q)/2
5- AC^2 = (P-Q)/2
...
9-BA.BI = BH*BI.....

Je ne comprend pas vos réponses pour les questions 2 à 5 ... Pour le 3, vous utiliser une identité remarquable pour développer mais je ne comprend pas comment vous arriver à 2AI*CB et pour la question deux, je ne comprend pas comment vous l'avez développé...
Je ne peux pas utiliser le théorème d'Apollonius pour la question 2 ?

[tofu69]

Et pour la question 6, c'est donc BA.BI=(projeté orthogonal)BH+BI= 1/2+2= 5/2 ?
Et BH c'est bien 1/2 ?

[siger]

RE

Je ne comprend pas vos réponses pour les questions 2 à 5 ... Pour le 3, vous utiliser une identité remarquable pour développer mais je ne comprend pas comment vous arriver à 2AI*CB et pour la question deux, je ne comprend pas comment vous l'avez développé...
Je ne peux pas utiliser le théorème d'Apollonius pour la question 2 ?

Il y a 3 theoremes de la mediane...mais il faut les appliquer correctemement

1- contrairement a ce que j'ai dit le resultat est faux: AB.AC = AI² -BC²/4 = 9- 16/4 = 5 et non 8 car BC=4
2- Bien sur que si, on peut utiliser un theoreme de la mediane
AB² + AC² = 2BI² + 2AI² et NON (2BI)² + (2AI)²
J'ai utilisé un autre calcul du type a² + b² = (a+b)² - 2ab et AC+AB = 2*AI
AC² + AB ² = 26
l'idée etait d'utiliser le resultat de la question precedente
3- même idée
(AB²- AC²) = (AB+AC)*(AB-AC) avec toujours AB + AC = 2AI et AB - AC = CA + AB = CB.

6- oui c'est une autre maniere de calculer BH en utilisant les resultats precedents

[tofu69]

Je vous remercie pour votre aide précieuse :)
Donc: (AB²-AC²)=(AB+AC)*(AB-AC)
= 2AI*CB
= 2*3*4
= 24

Mais dans ce cas, il y a une nouvelle fois un problème puisque si AB=racine de 7 et AC= racine de 19
AB²-AC²=7-19=-12 ...

[siger]

Re

Je vous remercie pour votre aide précieuse
Donc: (AB²-AC²)=(AB+AC)*(AB-AC)
= 2AI*CB
= 2*3*4
= 24

Mais dans ce cas, il y a une nouvelle fois un problème puisque si AB=racine de 7 et AC= racine de 19
AB²-AC²=7-19=-12 ...

Tes calculs sont justes
on a bien AC² = 19 et AB² = 7
En utilisant une autre formule de la moyenne on a
|AB²-AC²|= 2*BC*HI = 12 ce qui correspond alors a = BC*AI (???)
et le signe - vient des vecteurs BC = - CB

j'ai trouvé l'origine de l'erreur:
on a (AB² - AC²) = 2*AI.CB
mais AI.CB est un produit scalaire d'ou AI.CB = HI*CB lorsque l'on projette AI sur BC
d'ou (AB²-AC²) = 2*AI.CB = 2HI*BC = 2*(3/2)*(-4) = -12 !!!!!

[tofu69]

Re


Tes calculs sont justes
on a bien AC² = 19 et AB² = 7
En utilisant une autre formule de la moyenne on a
|AB²-AC²|= 2*BC*HI = 12 ce qui correspond alors a = BC*AI (???)
et le signe - vient des vecteurs BC = - CB

Dans mon calcul l'erreur doit etre tellement evidente que je ne la vois pas ....pour l'instant!
je reflechis pour cmoprendre d'ou vient le facteur 2 et te tiens au courant
.....

Merci beaucoup ! J'ai encore une question a vous posez
Lorsque vous utiliser le projeté orthogonal pour trouver le produit scalaire de BA.BI, je trouve: BA.BI= BH*BI=1/2+2=5/2
Mais lorsque j'utilise la formule BA.BI= 1/2[BA²+BI²-AI²]
= 1/2[7+2²-3²]
= 1/2[2]= 1
Il y a donc un nouveau problème ... Je pense que BH ne vaut pas 1/2 ...

[siger]

Re*

Merci beaucoup ! J'ai encore une question a vous posez
Lorsque vous utiliser le projeté orthogonal pour trouver le produit scalaire de BA.BI, je trouve: BA.BI= BH*BI=1/2+2=5/2
Mais lorsque j'utilise la formule BA.BI= 1/2[BA²+BI²-AI²]
= 1/2[7+2²-3²]
= 1/2[2]= 1
Il y a donc un nouveau problème ... Je pense que BH ne vaut pas 1/2 ...

A)
Calcul de AB² - AC²
c'est une erreur de ma part. Mille excuses!
AB² - AC² = (AB+AC).(AB-AC) = 2*AI.CB c'est un produit scalaire (et non un produit classique comme je l'ai indiqué) d'ou
2*AI.CB = -2*AI.BC= -2*HI*BC en calculant la produit scalaire
et AB² -AC² = -3*4= -12
B)
c'est un produit en non une somme !!!
BH*BI = (1/2)*2 = 1

[tofu69]

Je ne sais comment vous remercier ! :we:
Pour finir, L'angle ABI vaut bien 79.1° et l'Angle IAC =23.4° ?
Mes calculs sont dans mon premier message
Merci de votre gentillesse :)

[siger]

les angles semblent bons!