1S - Produit Scalaire

[rose02]

Bonsoir,

Alors voila je suis en 1 ere S et notre prof de maths nous a donné 8 exos a faire pour la rentré tous noté. Il m'en reste un justement qui me pose probleme.

Voici l'énoncé :

[AB] est un segment de longueur 6 et de mileu I.
On cherche à déterminer l'ensemble gamma des points M du plan tels que MB=2MA.

1) Montrer qu'il existe deux points R et S de la droite (AB) vérifiant la relation MB=2MA et les définir comme barycentres des points A et B affectés de coefficients que l'on déterminera.

2) Démontrer que MB=2MA équivaut à:
(vecMB + 2 vecMA).(vecMB - 2 vec MA) = 0.

3) En utilisant les points R et S trouvés au 1°, déterminer et construire l'ensemble gamma.

Je travaille sur cet exercice depuis ce matin mais je n'y arrive vraiment pas votre aide me sera très utile... Pouvez vous me donnez quelques pistes pour que je puisses le retravailler.

Merci d'avances.

[Dr Neurone]

Bonsoir Rose02, bienvenue,

1) Il existe un point R de [AB] qui vérifie MB + 2MA = 0, ce point R est situé au 1/3 du segment plus près de A que de B et on a en vecteur cette fois
RB + 2RA = 0 donc R bar de (A;2) et (B;1)
Mais il existe également un point S extérieur à [AB] mais appartenant à (AB)qui vérifie aussi MB + 2MA = 0 . ce point S est plus près de A que de B et en vecteur SB - 2SA = 0 donc S bar de (A;-2) et (B;1)

2) MB = 2MA <=> MB² = 4MA² <=> MB² - 4MA² = 0
<=> (vecMB + 2 vecMA).(vecMB - 2 vec MA) = 0.

3) (MB + 2 MA).(MB - 2 MA) = 0 <=> (3MR).(-MS) = 0
<=> MR.MS = 0 <=> Gamma = cercle de diamètre RS

[julian]

Bonsoir rose02,

Pour la 1) je te laisse chercher encore un peu (je pense que si tu arrives à trouver par toi-même ça te fera un bon pas en avant :id: ). Je te donne peut-être une petite indication pour que tu puisses au moins te représenter l'ensemble gamma:
-dessine ton segment [AB].
-Trace l'ensemble des points M distants de A (c'est un cercle de centre A, de rayon quelconque).
-Trace ensuite un cercle 2 fois plus grand (tu auras représenté les points M vérifiant la longueur 2MA).
-Puis trace l'ensemble des points M distants de B ( c'est un cercle de centre B et de rayon quelconque).
- Et hop! tu devrais voir apparaître les points qui vérifient MB=2MA

Pour la 2):
je te renvoie aussi aux identités remarquables. Tu auras donc:


or
et
donc...

ps: tu me le dis si j'ai été trop vite dans le calcul, ça serait cool que tu comprennes bien comment calculer avec des normes si tu ne le sais pas déjà :++:

[rose02]

Alors voila j'ai suivi tes consignes et fait le schéma. Les deux cercles de centre A et B se coupent en deux points : R et S ? Je vois pas a quoi ca doit aboutir ...
Pour le 1) , j'ai trouvé MB = ( MA + AB ) = ( - AM) + ( - BA) = AM -AB
= AM = BA ( point R )

puis pour le point S, j'ai fait : MA = ( MB + BA) = ( MA + AB + BA)
-2MA = AB + BA ( j'ai fait passé MA à gauche)
-2MA = AM+ MB+ BM+MA
= -2MA-2MB
-4MA= - 2 MB
2MA= MB !!!

Mais il me semble que c'est faux dans une autre discussion la réponse était : - 2MA= MB ( j'aimerais avoir de l'aide pour cette deuxieme partie de la question.
( mais ce sont des vecteurs ou des normes?)

2) C'est bon j'ai trouvé merci beaucoup pour l'aide!

3) Je pense que l'ensemble correspond au grand cercle de rayon 2MA...

Comment démontrer que R et S sont les barycentres des points A et B ? J'ai pris deux cercles de meme rayon pour le 1) et j'obtiens un carré est-ce-que je dois m'en servir?

Merci encore pour l'aide .