Produit scalaire

par **lalane** » 18 Mar 2007, 14:45

bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un dm de maths...

Premier pb : principe :

On se place successivement en deux pts F et E situés sur un droite horizontale passant par le pied B de la tour. En fait, on effetcue les mesures à une certaine distance d du sol, à partir des pts D et C situés au dessus des pts F et E.
La droite horizontale (DC) rencontre l'axe de la tour en G.
Si l'on arrive à caluculer la disatnce de G au sommet A de la tour, on connaitra la hauteur de la tour en ajoutant d.
Nous supposons, pour fixer les idées, que le pt D est entre G et C.
On suppose que l'on a déterminé la distance DC, que nous notons a.
A l'aide d'un instrument de mesure des anlges, tel le théodolite, on mesure les angles ADG et ACG, que nous notons alpha et béta.
Remarquons, comme le colonel Belidor, que [DC] doit etre d'une longuer suffisante pour que l'angle DAC ne soit pas trop aigu, sinon une petite imprécision de mesure pourrait avoir une répercussion importante sue le résultat du clacul.

1) a) Exprimer l'angle DAC en fonction de alpha et béta.
b) Calculer AD en fonction de a, alpha et béta, en appliquant la loi des sinus dans le triangle ADC.
c) En déduire que AG = (sin alpha * sin béta * a)/sin(alpha-béta)[/IMG]

(je metterai la suite plus tard, mais je ne sais pas comment insérer le scéma qui va avec ?)

par **lalane** » 18 Mar 2007, 21:26

personne ne pourrait m'aider svp ?

par **armor92** » 18 Mar 2007, 22:54

Bonsoir,

Pour le 1) a)

Calcul de l'angle DAG :
Le triangle DAG est rectangle en G. Ca veut dire que les angles ADG et DAG sont complémentaires, c'est à dire que :
angle(DAG) = Pi/2 - angle(ADG)
De même le triangle CAG est rectangle en G. Les angles ACG et CAG sont complémentaires, c'est à dire que :
angle(CAG) = Pi/2 - angle(ACG)

Mais on peut remarquer que :
angle(DAC) = angle(CAG) - angle(DAG) = (Pi/2 - angle(ACG)) - (Pi/2 - angle(ADG)) = angle(ADG) - angle(ACG) = alpha - beta

Pour le 1) b)
Loi des sinus dans le triangle ADC.
AD / sin Beta = CD / sin(angle(DAC))

AD/sin beta = CD / sin (alpha - beta)
Comme CD = a
AD = sin beta * a / sin(alpha - beta)

Pour le 1) c)
Dans le triangle rectangle ADG : AG / AD = sin alpha
Donc AG = AD * sin(alpha)
Comme on a vu dans le 1) b) que AD = a * sin Beta / sin(alpha - beta)

AG = a * sin alpha * sin Beta / sin(alpha - beta)

par **lalane** » 18 Mar 2007, 23:09

merci bcp, cependant pour la question 1)b) je ne vois pas pourquoi DAC = alpha-béta

par **armor92** » 18 Mar 2007, 23:34

armor92 a écrit:Bonsoir,

Pour le 1) a)

Calcul de l'angle DAG :
Le triangle DAG est rectangle en G. Ca veut dire que les angles ADG et DAG sont complémentaires, c'est à dire que :
angle(DAG) = Pi/2 - angle(ADG)
De même le triangle CAG est rectangle en G. Les angles ACG et CAG sont complémentaires, c'est à dire que :
angle(CAG) = Pi/2 - angle(ACG)

Mais on peut remarquer que :
angle(DAC) = angle(CAG) - angle(DAG) = (Pi/2 - angle(ACG)) - (Pi/2 - angle(ADG)) = angle(ADG) - angle(ACG) = alpha - beta

Les explications sont la. Qu'est ce qu tu ne comprend pas dans cette démonstration ?

par **lalane** » 18 Mar 2007, 23:40

Mais on peut remarquer que :
angle(DAC) = angle(CAG) - angle(DAG) = (Pi/2 - angle(ACG)) - (Pi/2 - angle(ADG)) = angle(ADG) - angle(ACG) = alpha - beta

je me perd un peu dans vos explication, je ne vois pas très bien la concordance entre cela et le schéma suivant : http://img68.imageshack.us/my.php?image=math001cc5.jpg

par **armor92** » 18 Mar 2007, 23:53

On peut le montrer d'une autre manière :
Dans le triangle DAC, la somme des angles vaut pi :
Angle(DAC) + Angle(ADC) + Angle(ACD) = pi (1)
Ce qui peut se réécrire :
Angle(DAC) = pi - (Angle(ADC) + Angle(ACD)) (2)

Angle(ACD) est connu : c'est Beta
Angle (ADC) = Pi - alpha

Donc (2) s'écrit :
Angle(DAC) = pi - (pi - alpha + beta)

Donc finalement :
Angle(DAC) = alpha - beta

Mais ma première démonstration était bonne aussi !

par **lalane** » 18 Mar 2007, 23:57

d'accord j'ai compris maintenant, merci bcp de prendre du temps pour moi, puis je continuer avec mon dm ?

par **armor92** » 18 Mar 2007, 23:58

Oui, si tu veux mais je vais bientot me coucher

par **lalane** » 18 Mar 2007, 23:59

d'accord je ne met qu'une question

Deuxième méthode : justifier les relations
DG = AG/tan alpha
Tan béta = AG/DG+a

par **armor92** » 19 Mar 2007, 00:09

C'est une application directe des relations de trigonométrie :
AGD est un triangle rectangle en G, donc AG/DG = tan alpha qu'on peut réécrire en DG = AG/tan alpha

De même AGC triangle rectangle en G, donc AG/CG = tan beta
Hors CG=a+DG
Donc a la relation : AG/(DG+a) = tan beta

par **lalane** » 19 Mar 2007, 00:16

en effet... merci à vous

par **lalane** » 19 Mar 2007, 19:42

pour la deuxième question je ne vois pas tellement comment faire :
en déduire que tan béta = tan alpha * AG / AG + a*tan alpha
puis que AG = a*tan alpha * tan béta / tan alpha - béta

si vous pouviez m'aider à trouver la première, pour que je vois la méthode à utiliser pr essayer de trouver l'autre.. merci d'avance

par **armor92** » 19 Mar 2007, 21:25

Ca découle des deux égalités qu'on a démontré avant :

(1)
et

(2)

Dans (2) on remplace DG par son expression donnée par (1)

On multiplie numérateur et dénominateur par tan(alpha)

(3)

Pour calculer AG, on transforme l'expression (3) de manière à sortir AG.

(AG + a tan(alpha)) tan(beta) = tan(alpha) AG
AG(tan(alpha) - tan(beta)) = a tan(alpha) tan(beta)

par **lalane** » 19 Mar 2007, 21:33

hum.. j'avoue ne pas bien comprendre votre dernière réflexion pour AG...

par **lalane** » 19 Mar 2007, 21:34

je ne vois pas tellement pourquoi le tan béta intervient..

par **lalane** » 19 Mar 2007, 21:57

(AG + a tan(alpha)) tan(beta) = tan(alpha) AG

je viens de comprendre cette relation mais la deuxième...

par **armor92** » 19 Mar 2007, 21:59

Je détaille les calculs :
On part de :

On fait passer AG+ a . tan(alpha) dans le membre de gauche :
--> tan(beta) (AG+ a . tan(alpha)) = tan(alpha) AG
On développe :
--> tan(beta) AG + a tan(alpha) tan(beta) = tan(alpha) AG
On fait passer le tan(beta) AG à droite :
--> a tan(alpha) tan(beta) = tan(alpha) AG - tan(beta) AG
On met AG en facteur dans le membre de droite :
--> a tan(alpha) tan(beta) = (tan(alpha) - tan(beta)) AG
On arrive finalement à :

par **lalane** » 19 Mar 2007, 22:47

merci bcp pr vos explications, cela fait plaisir de voir que qqun s'interesse réellement au problème...

il demande ensuite de vérifier que cette expression de AG équivaut à : AG = sin alpha * sin béta * a / sin(alpha - béta)
Autrement dit le résultat de la question 1)c)

il faut établir que tan = sin ?

par **armor92** » 20 Mar 2007, 01:08

Il faut connaitre la relation :
sin(alpha - beta) = sin(alpha)cos(beta) - cos(alpha)sin(beta)

Donc on part de l'expression de AG trouvée dans le 1) c)

On divise le numérateur et le dénominateur par cos(alpha)cos(beta)

On sait que :

Donc

On retrouve la dernière relation trouvée pour AG

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