Le produit scalaire

[tore]

Bonjour , j'ai un " petit" exercice de maths a faire sur les barycentres et j'ai un peu de mal je vous donne ci contre l'énoncé et ensuite je vous dit ou je bloque :
" Soit un triangle ABC , A' le milieu de [BC] et h projetée orthogonal de A sur la droite (BC)
Démontrer les 4 expressions du produits scalaire AB.AC
AB.AC = 1/2 ( AB²+AC²-BC²) AB.AC=BA²-BH.BC
AB.AC= AA'²-1/4 BC² AB.AC=AH² + HB.HC
Tres franchement j'en ai reussi qu'une la premiere on la demontrer avec le theoreme general de Pythagore mais les autres je vois pas bien comment y arriver . MErci , a bientot

[Nightmare]

Bonjour

AB.AC=BA²-BH.BC

BA²-BH.BC=BA²-(BA+AH).BC=BA²-BA.BC-AH.BC=BA(BA-BC)-AH.BC=BA.(CA)-AH.BC=AB.AC-AH.BC=AB.AC car AH.BC=0

:happy3:

[Nightmare]

Pour le troisième, utilise le théorème de la médiane.

[tore]

Merci beaucoup ^^

[Pavel]

Salut.

voilà les démonstrations pour les trois égalités suivantes :

BA²-BH.BC
= (BH + HA)(BC + CA) - BH.BC
= BH.BC + BH.CA + HA.BC + HA.CA - BH.BC (mais comme HA et BC sont perpendiculaires HA.BC = 0)
= CA(BH+HA)
= AC.AB

AA'²-1/4BC² = (AA'-1/2BC)(AA'+1/2BC) =
mais AA' = 1/2(AB + AC) donc
= 1/2(AB + AC - BC)(AB + AC + BC)
= 1/2(2AB)(2AC) =
= AB.AC

AH² + HB.HC =
= (AB + BH)(AC + CH) + HB.HC
= AB.AC + AB.CH + BH.AC + BH.CH + HB.HC
= AB.AC + CH(AB + BH) + BH(AC + CH)
= AB.AC + CH.AH + BH.AH (mais CH et AH sont perpendiculaires, même chose pour BH et AH)
= AB.AC