Produit scalaire - Relations métriques.

[Emel-ii-nee]

Bonjour, j'ai un petit problème avec un exercice que je n'arrive pas du tout à résoudre.
J'aurais besoin de votre aide..
Voici l'énoncé..

ABC est un triangle isocèle en C.
1°) Déterminer et représenter l'ensemble D des points M tels que MA² - MB² = 0
2°) Déterminer et représenter l'ensemble D' des points N du plan tels que NC² - NB² = AC².
Vérifier que B est un point de D'

J'attend vos réponses avec impatience pour m'éclaircir sur cet exercice.
Merci d'avance.

[Ericovitchi]

transformes MA² - MB² = 0 en et puis c'est ensuite appelles I le milieu de AB et transformes aussi dans la formule et le lieu de M sera facile à trouver

[Emel-ii-nee]

D'accord, donc en faite ça donne :
Lorsque que je met entre ".", c'est pour indiquer que c'est une vecteur..

MA² - MB² = 0
Où I est le milieu de [AB]. On appelle H le projeté orthogonal de M sur la droite (AB).

MA² - MB² = 2"AB"."IH"

Comme "AB" et "IH" sont colinéaires et "AB" est différent de "0", le produit scalaire ne peut être nul que si "IH" = "0" soit H=I.

L'ensemble des points M est donc la droite perpendiculaire à (AB) passant par I.

[Ericovitchi]

"AB" et "IH" sont colinéaires

AB et IM perpendiculaires tu veux dire ?
(si le produit scalaire est nul, les vecteurs sont perpendiculaires)

Mais ton lieu est exact.

[Emel-ii-nee]

D'accord, j'ai compris..
Mais la 2°) me pose toujours problème..

Je vais proposer une réponse, que je n'ai pas terminé, je ne suis pas sûr du tout..

On apelle J le milieu de [CB]
NC² - NB² = AC²
d'où 2"CB"."JN" = AC²

Soit K le projeté othogonal de N sur (CB) :
2"CB"."JK" = AC²

Vu que AC² est positif, "CB" et "JK" sont colinéaires et de même sens.
2CB * JK = AC²
Et comme ABC est un triangle isocèle, on peut remplacer AC² par CB²
2CB * JK = CB²
d'où JK = 1/2 CB

Je reste bloquée là et je ne suis même pas sûr que ce soit bon..

[Emel-ii-nee]

Je vais proposer une autre réponse qui me parait moins compliquée..



NC² - NB² = ("NB"+"BC")² - NB² = "NB"² + 2"NB"."BC" + "BC"² - NB² = NB² + 2"NB"."BC" + BC² - NB² = 2"NB"."BC" + BC²

Etant donné que le triangle est isocèle, AC = BC donc la relation demandée équivaut à :
2"NB"."BC" + BC² = BC² soit 2"NB"."BC" = 0

Le produit scalaire de 2 vecteurs est nul seulement si les vecteurs sont orthogonaux.
L'ensemble des points N tels que les vecteurs soient orthogonaux est donc la droite passant par B perpendiculaire à la droite (BC).


??