Produit matrice, valeur propres et vecteurs propres

[babie9]

Bonjour,

Je cherche les propriétées ou théorèmes existant sur les valeurs propres et vecteurs propres d'un produit de deux matrices.
Je sais (par simulation) que les valeurs propres de AB sont les mêmes que celles de BA et que les vecteurs propres sont différents, mais je crois qu'il existe un relation entre les deux.

Merci c'est urgent

Babie

[Quidam]

Bonjour,

Je cherche les propriétées ou théorèmes existant sur les valeurs propres et vecteurs propres d'un produit de deux matrices.
Je sais (par simulation) que les valeurs propres de AB sont les mêmes que celles de BA et que les vecteurs propres sont différents, mais je crois qu'il existe un relation entre les deux.

Merci c'est urgent

Babie

Bonjour,
Si X est vecteur propre de AB, alors ABX=aX, a étant un scalaire. Posons alors Y=BX.
On a AY=ABX=aX, et donc BAY=BaX=aBX=aY. Cela montre que Y=BX est alors vecteur propre de BA avec pour valeur propre a.

Ainsi, pour tout X vecteur propre de AB, BX est vecteur propre de BA, et pour tout Y vecteur propre de BA, AY est vecteur propre de AB.

A toi de terminer...