Problèmes PGCD

[le_freeman]

Bonjour,
c'est mon premier message sur ce forum. Je vous présente donc les questions de mon devoir à la maison auxquelles je ne trouve pas de reponse :

3) A quoi est égal PGCD(ab, cd) si PGCD(a, c) = PGCD(b, d) = 1?
4) Est-il nécessaire que b divise a pour que b^n divise a^n? Justifier.
5) Exprimer PGCD(a^n, b^n) en fonction du PGCD(a,b).

Je remercie par avance tous ceux qui tenteront de m'aider.

[abel]

4°) fais une recurrence ou alors décompose a et b en facteurs premiers et regarde quel est l'effet d'une elevation a la puissance n (la recurrence c'est qud meme + propre)
5°)il suffit de dire que a=pgcd(a,b)*a' et b=pgcd(a,b)*b' avc a' et b' premiers entre eux et en te servant de 4°) tu trouveras tres facilement.
Bon courage.

[Mikou]

4°) il doit imperativement avoir des restrictions sur a,b,c,d

[Mikou]

3) conditions ?
4) on se place ds le cas ou n est superieur a 0
par recurrence on suppose qu'au rang n

au rang n+1
?
dapres gauss on devrait avoir [tex] b^n | a [tex] comme il ne divise pas a*a*... *a ( n fois ) il ne divise pas a.
la reponse a la question est oui
5)
a=a'*d
b=b'*d a' est b' premiers entres eux et d etant leur pgcd

a^n = a'^n * d^n
b^n= b'^n * d^n
dapres la question 4 a'^n et b'^n sont premiers entre eux, donc le pgcd de a^n et b^n est d^n