Problèmes d’olympiades de mathématiques.

[ETINCELLE19]

Salut tout le monde, je souhaite votre aide pour ces trois problèmes d’olympiades de mathématiques difficiles quand même, merci d’avance

https://ibb.co/jLsV4DZ

[aviateur]

Bonjour,
revoici donc la solution!
https://ibb.co/fFjwQLD

[aviateur]

Voici un exercice du niveau des olympiades:

https://www.maths-forum.com/enigmes/une-suite-polynomes-t204085.html

[ETINCELLE19]

Salut, j’ai lu votre réponse pour ces problèmes, mais je comprends pas encore la deuxième question du premier problème, et le troisième problème. Merci beaucoup

[aviateur]

*************
explications ci_dessous

**************

[ETINCELLE19]

Pour le troisième problème, votre démonstration ne me paraît pas claire, pouvez-vous m’expliquer ?

[aviateur]

Pour minorer 1/u+2 u une simple étude variation suffit. Mais dans l'esprit des olympiades, on préfèrera
AM-GM qui est plus rapide.
[C'est à dire (moyenne géo <= moyenne arith avec égalité quand 1/u=2u) ) ]

[aviateur]

Bonjour
Pour le 3ème! Je reprends donc
Mais p est premier donc m-n=1 ou bien (m^2+mn+n^2).=1
[Si p=a b et p premier alors a=1 ou b=1 (sinon p n'est pas premier) !!]
Le deuxième cas est facile à éliminer. Don m-n=1, i.e m=n+1
Donc p= 1 + 3 n + 3 n^2.

Pour avoir les chiffres des unités possibles il faut chercher les valeurs possibles de
p modulo 10
ot 1 + 3 n + 3 n^2. =1 ou bien 7 ou 9.

faire n=0,1,2,.... ,9 exemple pour n=4 , 1+12+3*16=1+2+8 =1 modulo 10

[ETINCELLE19]

Bonjour
Pour le 3ème! Je reprends donc
Mais p est premier donc m-n=1 ou bien (m^2+mn+n^2).=1
[Si p=a b et p premier alors a=1 ou b=1 (sinon p n'est pas premier) !!]
Le deuxième cas est facile à éliminer. Don m-n=1, i.e m=n+1
Donc p= 1 + 3 n + 3 n^2.

Pour avoir les chiffres des unités possibles il faut chercher les valeurs possibles de
p modulo 10
ot 1 + 3 n + 3 n^2. =1 ou bien 7 ou 9.

faire n=0,1,2,.... ,9 exemple pour n=4 , 1+12+3*16=1+2+8 =1 modulo 10

Salut Aviateur, je vous remercie, j'ai maintenant bien compris votre méthode pour ces problèmes.